Номер 1005, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1005, страница 261.

Условие.

1005. Тангенс угла между большей диагональю ромба и его стороной равен $2 - \sqrt{3}$. Найдите углы ромба.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $\alpha$ — это угол между большей диагональю ромба и его стороной. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Большая диагональ делит острый угол ромба пополам. Таким образом, $\alpha$ — это половина острого угла ромба.

По условию задачи, тангенс этого угла равен $2 - \sqrt{3}$:

$\tan(\alpha) = 2 - \sqrt{3}$

Это значение является известным значением тангенса для угла $15^\circ$. Чтобы это доказать, можно воспользоваться формулой тангенса разности углов $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, подставляем эти значения:

$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Для упрощения дроби домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{3}-1$:

$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Таким образом, мы установили, что угол $\alpha = 15^\circ$.

Поскольку диагональ является биссектрисой, острый угол ромба равен $2\alpha$.

Острый угол ромба = $2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$.

Сумма смежных углов в ромбе (как и в любом параллелограмме) составляет $180^\circ$. Следовательно, тупой угол ромба равен:

$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, углы ромба — это два острых угла по $30^\circ$ и два тупых угла по $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $150^\circ$.