Номер 1003, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1003, страница 260.

Условие.

1003. В прямоугольный треугольник вписана окружность, причем точка касания делит один из его катетов на отрезки 6 см и 8 см. Найдите тангенсы острых углов этого треугольника.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $a=BC$ и $b=AC$, а длину гипотенузы $c=AB$. Пусть вписанная окружность с центром $O$ и радиусом $r$ касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $D$ соответственно, и гипотенузы $AB$ в точке $F$.

Из свойств вписанной окружности в прямоугольный треугольник известно, что четырехугольник $CDOE$ является квадратом, поэтому $CE = CD = r$. Также, по свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных равны: $AE = AF$ и $BD = BF$.

По условию задачи, точка касания делит один из катетов на отрезки 6 см и 8 см. Без ограничения общности, пусть этим катетом будет $AC$. Тогда его длина $b = AC = 6 + 8 = 14$ см. Точка касания $E$ делит катет $AC$ на отрезки $AE$ и $CE$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. Отрезок от вершины прямого угла до точки касания равен 6 см.

В этом случае $CE = 6$ см и $AE = 8$ см. Тогда радиус вписанной окружности $r = CE = 6$ см. Отсюда следует, что $CD = 6$ см.

По свойству касательных $AF = AE = 8$ см.

Обозначим длину отрезка $BD$ через $x$. Тогда $BF = BD = x$.

Таким образом, стороны треугольника имеют следующие длины:

Катет $b = AC = AE + CE = 8 + 6 = 14$ см.

Катет $a = BC = CD + BD = 6 + x$ см.

Гипотенуза $c = AB = AF + BF = 8 + x$ см.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(6 + x)^2 + 14^2 = (8 + x)^2$

$36 + 12x + x^2 + 196 = 64 + 16x + x^2$

$232 + 12x = 64 + 16x$

$16x - 12x = 232 - 64$

$4x = 168$

$x = 42$

Таким образом, длины катетов равны $AC = 14$ см и $BC = 6 + 42 = 48$ см.

Найдем тангенсы острых углов $A$ и $B$.

$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$

$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}$

Случай 2. Отрезок от вершины прямого угла до точки касания равен 8 см.

В этом случае $CE = 8$ см и $AE = 6$ см. Тогда радиус вписанной окружности $r = CE = 8$ см, и $CD = 8$ см.

По свойству касательных $AF = AE = 6$ см.

Обозначим $BD = BF = x$.

Стороны треугольника имеют длины:

$b = AC = 6 + 8 = 14$ см.

$a = BC = 8 + x$ см.

$c = AB = 6 + x$ см.

По теореме Пифагора:

$(8 + x)^2 + 14^2 = (6 + x)^2$

$64 + 16x + x^2 + 196 = 36 + 12x + x^2$

$260 + 16x = 36 + 12x$

$4x = 36 - 260$

$4x = -224$

$x = -56$

Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому этот случай невозможен.

Следовательно, задача имеет единственное решение, которое соответствует первому случаю.

Ответ: тангенсы острых углов треугольника равны $\frac{7}{24}$ и $\frac{24}{7}$.