Номер 1000, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1000, страница 260.
№1000 (с. 260)
Условие. №1000 (с. 260)
скриншот условия

1000. Найдите все значения x, при которых верно неравенство:
а) $ \sin^2 x - 4\cos x + 4 \le 0 $
б) $ \cos^2 x + 5\sin x - 5 \ge 0 $
Решение. №1000 (с. 260)


Решение 2 (rus). №1000 (с. 260)
a) $ \sin^2x - 4\cos x + 4 \le 0 $
Чтобы решить это неравенство, приведем его к одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, откуда $ \sin^2x = 1 - \cos^2x $.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$ (1 - \cos^2x) - 4\cos x + 4 \le 0 $
Упростим выражение:
$ -\cos^2x - 4\cos x + 5 \le 0 $
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ \cos^2x + 4\cos x - 5 \ge 0 $
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $. Поскольку область значений функции косинус $ [-1, 1] $, то для переменной $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.
Получим квадратное неравенство относительно $ t $:
$ t^2 + 4t - 5 \ge 0 $
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ t^2 + 4t - 5 = 0 $. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни:
$ t_1 = 1, \quad t_2 = -5 $
Так как ветви параболы $ y = t^2 + 4t - 5 $ направлены вверх, неравенство $ t^2 + 4t - 5 \ge 0 $ выполняется, когда $ t \le -5 $ или $ t \ge 1 $.
Теперь вернемся к ограничению $ -1 \le t \le 1 $. Необходимо найти пересечение множества решений $ (-\infty, -5] \cup [1, +\infty) $ с отрезком $ [-1, 1] $.
Единственное значение, удовлетворяющее этим условиям, это $ t = 1 $.
Выполним обратную замену:
$ \cos x = 1 $
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$ x = 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos^2x + 5\sin x - 5 \ge 0 $
Приведем неравенство к одной тригонометрической функции. Используем тождество $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $.
Подставим в исходное неравенство:
$ (1 - \sin^2x) + 5\sin x - 5 \ge 0 $
Упростим выражение:
$ -\sin^2x + 5\sin x - 4 \ge 0 $
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$ \sin^2x - 5\sin x + 4 \le 0 $
Сделаем замену переменной. Пусть $ u = \sin x $. Область значений синуса $ [-1, 1] $, следовательно, $ -1 \le u \le 1 $.
Получим квадратное неравенство:
$ u^2 - 5u + 4 \le 0 $
Найдем корни уравнения $ u^2 - 5u + 4 = 0 $. По теореме Виета корни:
$ u_1 = 1, \quad u_2 = 4 $
Ветви параболы $ y = u^2 - 5u + 4 $ направлены вверх, поэтому неравенство $ u^2 - 5u + 4 \le 0 $ выполняется между корнями, то есть при $ 1 \le u \le 4 $.
Теперь учтем ограничение $ -1 \le u \le 1 $. Найдем пересечение множеств $ [1, 4] $ и $ [-1, 1] $.
Единственное значение, которое удовлетворяет обоим условиям, это $ u = 1 $.
Выполним обратную замену:
$ \sin x = 1 $
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 1000 расположенного на странице 260 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1000 (с. 260), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.