Номер 1000, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1000, страница 260.

Условие.

1000. Найдите все значения x, при которых верно неравенство:

а) $ \sin^2 x - 4\cos x + 4 \le 0 $

б) $ \cos^2 x + 5\sin x - 5 \ge 0 $

Решение.

Решение 2 (rus).

a) $ \sin^2x - 4\cos x + 4 \le 0 $

Чтобы решить это неравенство, приведем его к одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, откуда $ \sin^2x = 1 - \cos^2x $.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$ (1 - \cos^2x) - 4\cos x + 4 \le 0 $

Упростим выражение:

$ -\cos^2x - 4\cos x + 5 \le 0 $

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \cos^2x + 4\cos x - 5 \ge 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $. Поскольку область значений функции косинус $ [-1, 1] $, то для переменной $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.

Получим квадратное неравенство относительно $ t $:

$ t^2 + 4t - 5 \ge 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ t^2 + 4t - 5 = 0 $. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни:

$ t_1 = 1, \quad t_2 = -5 $

Так как ветви параболы $ y = t^2 + 4t - 5 $ направлены вверх, неравенство $ t^2 + 4t - 5 \ge 0 $ выполняется, когда $ t \le -5 $ или $ t \ge 1 $.

Теперь вернемся к ограничению $ -1 \le t \le 1 $. Необходимо найти пересечение множества решений $ (-\infty, -5] \cup [1, +\infty) $ с отрезком $ [-1, 1] $.

Единственное значение, удовлетворяющее этим условиям, это $ t = 1 $.

Выполним обратную замену:

$ \cos x = 1 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$ x = 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^2x + 5\sin x - 5 \ge 0 $

Приведем неравенство к одной тригонометрической функции. Используем тождество $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $.

Подставим в исходное неравенство:

$ (1 - \sin^2x) + 5\sin x - 5 \ge 0 $

Упростим выражение:

$ -\sin^2x + 5\sin x - 4 \ge 0 $

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$ \sin^2x - 5\sin x + 4 \le 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ u = \sin x $. Область значений синуса $ [-1, 1] $, следовательно, $ -1 \le u \le 1 $.

Получим квадратное неравенство:

$ u^2 - 5u + 4 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ u^2 - 5u + 4 = 0 $. По теореме Виета корни:

$ u_1 = 1, \quad u_2 = 4 $

Ветви параболы $ y = u^2 - 5u + 4 $ направлены вверх, поэтому неравенство $ u^2 - 5u + 4 \le 0 $ выполняется между корнями, то есть при $ 1 \le u \le 4 $.

Теперь учтем ограничение $ -1 \le u \le 1 $. Найдем пересечение множеств $ [1, 4] $ и $ [-1, 1] $.

Единственное значение, которое удовлетворяет обоим условиям, это $ u = 1 $.

Выполним обратную замену:

$ \sin x = 1 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.