Номер 946, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 946, страница 255.

Условие.

946. Найдите, при каких значениях $a$ решением уравнения $(a^2 - 3a + 2)x = |a| - 1$ является любое число.

Решение.

Решение 2 (rus).

Данное уравнение является линейным уравнением вида $kx = b$, где $k = a^2 - 3a + 2$ и $b = |a| - 1$.Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений (то есть, его решением является любое число) тогда и только тогда, когда оба его коэффициента равны нулю, то есть $k = 0$ и $b = 0$ одновременно.Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} a^2 - 3a + 2 = 0 \\ |a| - 1 = 0\end{cases}$
Решим первое уравнение: $a^2 - 3a + 2 = 0$.Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, разложив на множители: $(a - 1)(a - 2) = 0$.Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$.
Теперь решим второе уравнение: $|a| - 1 = 0$.Отсюда $|a| = 1$, что дает два возможных значения для $a$: $a_3 = 1$ и $a_4 = -1$.
Для того чтобы исходное уравнение имело решением любое число, оба условия должны выполняться одновременно. Это означает, что мы должны найти значение $a$, которое является решением и первого, и второго уравнения.Сравнивая множества решений $\{1, 2\}$ и $\{1, -1\}$, мы видим, что единственным общим решением является $a = 1$.
Проверим найденное значение. При $a = 1$ исходное уравнение принимает вид:
$(1^2 - 3 \cdot 1 + 2)x = |1| - 1$
$(1 - 3 + 2)x = 1 - 1$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, значение $a=1$ является искомым.

Ответ: $1$.