Номер 939, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 939, страница 254.

Условие.

939. Найдите коэффициенты $p$ и $q$ квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, являющиеся его корнями. Запишите эти уравнения.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию задачи, его корни $x_1$ и $x_2$ равны коэффициентам $p$ и $q$. То есть, пусть множество корней $\{x_1, x_2\}$ совпадает с множеством коэффициентов $\{p, q\}$.

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся теоремой Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Подставим в эти формулы значения корней, которые равны $p$ и $q$. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $p$ и $q$:

$p + q = -p$

$p \cdot q = q$

Решим эту систему. Из второго уравнения $p \cdot q = q$ можно вынести $q$ за скобки, предварительно перенеся все члены в одну часть:

$p \cdot q - q = 0$

$q(p - 1) = 0$

Это равенство верно в двух случаях: либо $q = 0$, либо $p - 1 = 0$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $q = 0$.

Подставим это значение в первое уравнение системы $p + q = -p$:

$p + 0 = -p \implies 2p = 0 \implies p = 0$.

В этом случае мы получаем коэффициенты $p=0$ и $q=0$. Соответствующее уравнение: $x^2 = 0$. Его корни $x_1=0, x_2=0$, что совпадает с коэффициентами.

Случай 2: $p - 1 = 0$.

Из этого равенства следует, что $p = 1$. Подставим это значение в первое уравнение системы $p + q = -p$:

$1 + q = -1 \implies q = -2$.

В этом случае мы получаем коэффициенты $p=1$ и $q=-2$. Соответствующее уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$. Найдем его корни для проверки. По теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна $-1$ (коэффициент при $x$ с противоположным знаком), а произведение равно $-2$ (свободный член). Это числа $1$ и $-2$. Таким образом, корни уравнения $x_1=1, x_2=-2$ совпадают с коэффициентами $p=1, q=-2$.

Мы нашли два набора коэффициентов и два соответствующих им уравнения, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Существует два таких уравнения: $x^2 = 0$ (при $p=0, q=0$) и $x^2 + x - 2 = 0$ (при $p=1, q=-2$).