Номер 935, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 935, страница 254.

Условие.

935. Две молотилки обмолачивают весь хлеб за 12 дней. Если бы первая молотилка обмолотила половину всего хлеба, а затем вторая – остальную часть, то они проработали бы 25 дней. За сколько дней каждая из них в отдельности могла бы выполнить эту работу?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть первая молотилка может выполнить всю работу за $x$ дней, а вторая — за $y$ дней. Тогда производительность первой молотилки (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$, а производительность второй — $\frac{1}{y}$.

Из первого условия задачи известно, что работая вместе, две молотилки выполняют всю работу за 12 дней. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей, то есть $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 12 = 1$

Разделив обе части на 12, получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Из второго условия известно, что если первая молотилка выполнит половину работы ($\frac{1}{2}$ от всего объема), а затем вторая выполнит вторую половину, то общее время работы составит 25 дней.

Время, необходимое первой молотилке для выполнения половины работы, равно:

$t_1 = \frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ дней.

Время, необходимое второй молотилке для выполнения второй половины работы, равно:

$t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ дней.

Общее время равно $t_1 + t_2 = 25$ дней. Составляем второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25$

Умножив обе части на 2, упрощаем его:

$x + y = 50$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ x + y = 50 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 50 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(50 - x)$:

$\frac{(50 - x) + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$

$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$1 \cdot (50x - x^2) = 50 \cdot 12$

$50x - x^2 = 600$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна 50, а произведение — 600. Такими числами являются 20 и 30.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 20$ и $x_2 = 30$.

Теперь найдем соответствующие значения для $y$:

1. Если $x_1 = 20$, то $y_1 = 50 - x_1 = 50 - 20 = 30$.

2. Если $x_2 = 30$, то $y_2 = 50 - x_2 = 50 - 30 = 20$.

Оба решения верны и означают, что одна из молотилок может выполнить всю работу за 20 дней, а вторая — за 30 дней.

Ответ: одна из молотилок могла бы выполнить всю работу за 20 дней, а другая — за 30 дней.