Номер 931, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 931, страница 253.

Условие.

931. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = 3x + 1, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x - y)xy = 30, \\ (x + y)xy = 120; \end{cases}$

B) $\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6}, \\ x + y = 5. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данная система уравнений: $ \begin{cases} y = 3x + 1 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 9 \end{cases} $
Заметим, что второе уравнение можно упростить, используя формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
Таким образом, второе уравнение принимает вид:
$(x - y)^2 = 9$
Отсюда следует, что $x - y = 3$ или $x - y = -3$.
Теперь решим две системы линейных уравнений.

1) Решаем систему: $ \begin{cases} y = 3x + 1 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x - (3x + 1) = 3$
$x - 3x - 1 = 3$
$-2x = 4$
$x_1 = -2$
Теперь найдем $y_1$:
$y_1 = 3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5$
Первое решение: $(-2; -5)$.

2) Решаем вторую систему: $ \begin{cases} y = 3x + 1 \\ x - y = -3 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x - (3x + 1) = -3$
$x - 3x - 1 = -3$
$-2x = -2$
$x_2 = 1$
Теперь найдем $y_2$:
$y_2 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4$
Второе решение: $(1; 4)$.

Ответ: $(-2; -5), (1; 4)$.

б) Данная система уравнений: $ \begin{cases} (x - y)xy = 30 \\ (x + y)xy = 120 \end{cases} $
Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, иначе левые части уравнений были бы равны нулю. Следовательно, $xy \neq 0$.
Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{(x + y)xy}{(x - y)xy} = \frac{120}{30}$
$\frac{x + y}{x - y} = 4$
$x + y = 4(x - y)$
$x + y = 4x - 4y$
$5y = 3x$, откуда $y = \frac{3}{5}x$.
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$(x - \frac{3}{5}x)x(\frac{3}{5}x) = 30$
$(\frac{2}{5}x)(\frac{3}{5}x^2) = 30$
$\frac{6}{25}x^3 = 30$
$x^3 = \frac{30 \cdot 25}{6}$
$x^3 = 5 \cdot 25 = 125$
$x = 5$
Теперь найдем $y$:
$y = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$
Решение: $(5; 3)$. Проверим его, подставив во второе уравнение: $(5+3)(5 \cdot 3) = 8 \cdot 15 = 120$. Верно.

Ответ: $(5; 3)$.

в) Данная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6} \\ x + y = 5 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:
$\frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{13}{6}$
$6(x^2 + y^2) = 13xy$
Из второго уравнения системы $x+y=5$ выразим $x^2+y^2$. Возведем обе части в квадрат:
$(x+y)^2 = 5^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = 25$
$x^2 + y^2 = 25 - 2xy$
Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение:
$6(25 - 2xy) = 13xy$
$150 - 12xy = 13xy$
$150 = 25xy$
$xy = \frac{150}{25} = 6$
Теперь мы имеем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Найдем корни этого уравнения:
$(t - 2)(t - 3) = 0$
$t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Это дает нам две пары решений:
1) $x = 2, y = 3$
2) $x = 3, y = 2$

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.