Номер 933, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 933, страница 253.

Условие.

933. Сколько целочисленных решений имеет система неравенств:

a) $ \begin{cases} -2 < x < 2, \\ -1 < y < 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 < 4, \\ y < |x|; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y > (x - 2)^2 + 1, \\ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 < 25 \end{cases}? $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется найти количество целочисленных решений системы неравенств:$\begin{cases} -2 < x < 2 \\ -1 < y < 3 \end{cases}$
Из первого неравенства $-2 < x < 2$ следует, что переменная $x$ может принимать следующие целые значения: -1, 0, 1. Всего 3 возможных значения.
Из второго неравенства $-1 < y < 3$ следует, что переменная $y$ может принимать следующие целые значения: 0, 1, 2. Всего 3 возможных значения.
Поскольку выбор целого значения для $x$ не зависит от выбора значения для $y$, общее количество целочисленных решений (пар $(x, y)$) равно произведению количества возможных значений для каждой переменной.
Число решений = (количество значений $x$) $\times$ (количество значений $y$) = $3 \times 3 = 9$.
Ответ: 9

б) Требуется найти количество целочисленных решений системы неравенств:$\begin{cases} x^2 + y^2 < 4 \\ y < |x|\end{cases}$
Первое неравенство $x^2 + y^2 < 4$ описывает множество точек внутри окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Граница окружности не включается.
Найдем все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому неравенству. Из $x^2 + y^2 < 4$ следует, что $x^2 < 4$ и $y^2 < 4$. Следовательно, возможные целые значения для $x$ и $y$ лежат в диапазоне от -1 до 1.
Перечислим все целочисленные точки внутри окружности:
- при $x=0$: $0^2+y^2 < 4 \implies y^2 < 4$, целые $y \in \{-1, 0, 1\}$. Точки: (0, -1), (0, 0), (0, 1).
- при $x=1$: $1^2+y^2 < 4 \implies y^2 < 3$, целые $y \in \{-1, 0, 1\}$. Точки: (1, -1), (1, 0), (1, 1).
- при $x=-1$: $(-1)^2+y^2 < 4 \implies y^2 < 3$, целые $y \in \{-1, 0, 1\}$. Точки: (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1).
Всего 9 целочисленных точек: (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1).
Теперь проверим выполнение второго неравенства $y < |x|$ для каждой из этих точек:
1. (0, -1): $-1 < |0| \implies -1 < 0$. Верно.
2. (0, 0): $0 < |0| \implies 0 < 0$. Неверно.
3. (0, 1): $1 < |0| \implies 1 < 0$. Неверно.
4. (1, -1): $-1 < |1| \implies -1 < 1$. Верно.
5. (1, 0): $0 < |1| \implies 0 < 1$. Верно.
6. (1, 1): $1 < |1| \implies 1 < 1$. Неверно.
7. (-1, -1): $-1 < |-1| \implies -1 < 1$. Верно.
8. (-1, 0): $0 < |-1| \implies 0 < 1$. Верно.
9. (-1, 1): $1 < |-1| \implies 1 < 1$. Неверно.
Системе удовлетворяют 5 пар целых чисел: (0, -1), (1, -1), (1, 0), (-1, -1), (-1, 0).
Ответ: 5

в) Требуется найти количество целочисленных решений системы неравенств:$\begin{cases} y > (x-2)^2 + 1 \\(x-2)^2 + (y-1)^2 < 25 \end{cases}$
Первое неравенство задает область над параболой $y=(x-2)^2+1$ с вершиной в точке (2, 1). Второе неравенство задает область внутри окружности с центром в точке (2, 1) и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.
Объединим условия для $y$. Из первого неравенства имеем $y > (x-2)^2 + 1$. Из второго $(y-1)^2 < 25 - (x-2)^2$, откуда $1 - \sqrt{25-(x-2)^2} < y < 1 + \sqrt{25-(x-2)^2}$.
Таким образом, целочисленные решения $(x, y)$ должны удовлетворять двойному неравенству:$(x-2)^2 + 1 < y < 1 + \sqrt{25-(x-2)^2}$.
Для существования решений необходимо, чтобы $(x-2)^2 + 1 < 1 + \sqrt{25-(x-2)^2}$, что эквивалентно $(x-2)^2 < \sqrt{25-(x-2)^2}$.
Пусть $u=(x-2)^2$. Тогда $u < \sqrt{25-u}$. Поскольку обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $u^2 < 25 - u$, или $u^2 + u - 25 < 0$. Корни квадратного трехчлена $u^2+u-25=0$ равны $u = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-25)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{101}}{2}$. Так как $\sqrt{101} \approx 10.05$, корни примерно равны -5.525 и 4.525. Неравенство выполняется для $u \in (-5.525, 4.525)$.
Поскольку $x$ — целое число, $u=(x-2)^2$ должно быть целым числом, являющимся полным квадратом, и $u \ge 0$. Таким образом, возможные значения для $u$: 0, 1, 4.
Рассмотрим каждый случай:
1. Если $u=(x-2)^2=0$, то $x=2$. Неравенство для $y$: $1 < y < 1 + \sqrt{25-0}$, то есть $1 < y < 6$. Целые значения $y$: 2, 3, 4, 5. Всего 4 решения: (2,2), (2,3), (2,4), (2,5).
2. Если $u=(x-2)^2=1$, то $x-2 = \pm 1$, откуда $x=1$ или $x=3$. Неравенство для $y$: $1+1 < y < 1+\sqrt{25-1}$, то есть $2 < y < 1+\sqrt{24}$. Так как $4 < \sqrt{24} < 5$ ($\sqrt{24} \approx 4.9$), получаем $2 < y < 5.9$. Целые значения $y$: 3, 4, 5. Для $x=1$ это 3 решения, и для $x=3$ это 3 решения. Всего $3+3=6$ решений.
3. Если $u=(x-2)^2=4$, то $x-2 = \pm 2$, откуда $x=0$ или $x=4$. Неравенство для $y$: $4+1 < y < 1+\sqrt{25-4}$, то есть $5 < y < 1+\sqrt{21}$. Так как $4 < \sqrt{21} < 5$ ($\sqrt{21} \approx 4.58$), получаем $5 < y < 5.58$. В этом интервале нет целых значений $y$. Решений нет.
Общее количество целочисленных решений равно сумме решений по всем случаям: $4 + 6 + 0 = 10$.
Ответ: 10