Номер 937, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 937, страница 254.

Условие.

937. Найдите значения c, при которых система уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = 3 \\ 4x + 3y = c \end{cases}$ не имеет решений;

б) $\begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ cx + 2y = 12 \end{cases}$ имеет единственное решение;

в) $\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = 4 \\ \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}y = c \end{cases}$ имеет бесконечно много решений.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = 3 \\ 4x + 3y = c \end{cases} $

Система линейных уравнений не имеет решений в том случае, когда графики уравнений являются параллельными, но не совпадающими прямыми. Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ это условие можно записать в виде пропорции коэффициентов: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} $.

Чтобы упростить сравнение, приведем первое уравнение к такому же виду, как и второе, умножив его на 6:

$ 6 \cdot (\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y) = 6 \cdot 3 $

$ 4x + 3y = 18 $

Теперь система выглядит следующим образом:

$ \begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 4x + 3y = c \end{cases} $

Левые части обоих уравнений полностью совпадают. Это означает, что прямые, описываемые этими уравнениями, либо параллельны, либо совпадают. Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны, но не совпадать. Это условие выполняется, если правые части уравнений не равны друг другу.

$ c \ne 18 $

Таким образом, система не имеет решений при любом значении $c$, которое не равно 18. Если $c = 18$, система будет иметь бесконечно много решений.

Ответ: $c \ne 18$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ cx + 2y = 12 \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если ее графики — пересекающиеся прямые. Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ это условие выполняется, когда отношение коэффициентов при переменных не равно: $ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $.

В данной системе $ a_1 = 3, b_1 = -4, a_2 = c, b_2 = 2 $.

Подставим эти значения в условие:

$ \frac{3}{c} \ne \frac{-4}{2} $

$ \frac{3}{c} \ne -2 $

Это неравенство будет верным для всех значений $c$, кроме того, при котором левая и правая части равны. Найдем это "исключительное" значение $c$, решив уравнение:

$ \frac{3}{c} = -2 $

$ 3 = -2c $

$ c = -\frac{3}{2} $ или $ c = -1.5 $

При $ c = -1.5 $ прямые параллельны (и не совпадают, так как $ \frac{1}{12} \ne -2 $), и система не имеет решений. При всех остальных значениях $c$ прямые пересекаются, и система имеет единственное решение.

Ответ: $c \ne -1.5$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = 4 \\ \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}y = c \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если ее графики — совпадающие прямые. Для системы вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ это условие записывается как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

В данной системе $ a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = \frac{3}{4}, c_1 = 4 $ и $ a_2 = \frac{1}{6}, b_2 = \frac{1}{4}, c_2 = c $.

Найдем отношения коэффициентов при $x$ и $y$:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{1/6} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{3/4}{1/4} = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 $

Отношения равны. Для того чтобы система имела бесконечно много решений, отношение свободных членов должно быть равно тому же значению, то есть 3.

$ \frac{c_1}{c_2} = 3 $

$ \frac{4}{c} = 3 $

Решим полученное уравнение относительно $c$:

$ 4 = 3c $

$ c = \frac{4}{3} $

Ответ: $c = \frac{4}{3}$.