Номер 930, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 930, страница 253.

Условие.

930. Используя графики уравнений, установите, имеет ли решение система уравнений, если да, то сколько:

a) $\begin{cases} 2x + y = 1, \\ 2x + y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{2}{x}, \\ y = x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - 4 = 0. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x + y = 5 \end{cases} $.Каждое уравнение является линейным, поэтому их графики — это прямые линии. Для анализа их взаимного расположения приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью OY.

Из первого уравнения получаем: $y = -2x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $k = -2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 1)$.

Из второго уравнения получаем: $y = -2x + 5$. Это прямая с угловым коэффициентом $k = -2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 5)$.

Поскольку угловые коэффициенты этих прямых равны, а точки пересечения с осью OY различны, прямые параллельны друг другу. Параллельные прямые не имеют точек пересечения. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ y = x \end{cases} $.

График первого уравнения $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $2 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

График второго уравнения $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первой и третьей координатных четвертей.

Поскольку и ветви гиперболы, и прямая расположены в одних и тех же четвертях, они обязательно пересекутся. Прямая $y=x$ пересечет ветвь гиперболы в первой четверти и ветвь гиперболы в третьей четверти. Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Ответ: два решения.

в)Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ x - 4 = 0 \end{cases} $.

График первого уравнения $x^2 + y^2 = 16$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $x - 4 = 0$ можно переписать как $x = 4$. График этого уравнения — это вертикальная прямая, которая проходит через точку $(4, 0)$ на оси OX и параллельна оси OY.

Окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $4$ проходит через точки $(4, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, 4)$ и $(0, -4)$. Прямая $x = 4$ является касательной к окружности в ее крайней правой точке $(4, 0)$. Следовательно, графики уравнений имеют одну общую точку.

Ответ: одно решение.