Номер 928, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 928, страница 253.

Условие.

928. Решите уравнение:

а) $x^4 - 4x^2 - 45 = 0;$

б) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0;$

в) $(x^2 - 9)^2 - 19(x^2 - 9) + 48 = 0;$

г) $(x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $x^4 - 4x^2 - 45 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 4y - 45 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{196}}{2} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{196}}{2} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, следовательно, он является посторонним.

Выполним обратную замену для $y_1 = 9$:

$x^2 = 9$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

б) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $y = x^3$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 7y - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант):

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8$

$y_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1$

Выполним обратную замену:

1) $x^3 = y_1 = 8 \implies x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$

2) $x^3 = y_2 = -1 \implies x_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$

Ответ: $-1; 2$.

в) $(x^2 - 9)^2 - 19(x^2 - 9) + 48 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2 - 9$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 19y + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 361 - 192 = 169$

$y_1 = \frac{19 + \sqrt{169}}{2} = \frac{19 + 13}{2} = 16$

$y_2 = \frac{19 - \sqrt{169}}{2} = \frac{19 - 13}{2} = 3$

Выполним обратную замену:

1) $x^2 - 9 = y_1 = 16 \implies x^2 = 25 \implies x_{1,2} = \pm 5$

2) $x^2 - 9 = y_2 = 3 \implies x^2 = 12 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

Ответ: $-5; 5; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}$.

г) $(x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81$

Преобразуем выражение в первых скобках, выделив полный квадрат:

$x^2 - 6x = x^2 - 6x + 9 - 9 = (x - 3)^2 - 9$

Сделаем замену переменной: пусть $y = (x - 3)^2$. Учтем, что $y \ge 0$.

Тогда $x^2 - 6x = y - 9$. Подставим в исходное уравнение:

$(y - 9)^2 - 2y = 81$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$y^2 - 18y + 81 - 2y = 81$

$y^2 - 20y = 0$

$y(y - 20) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = 20$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $(x - 3)^2 = y_1 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

2) $(x - 3)^2 = y_2 = 20 \implies x - 3 = \pm\sqrt{20} \implies x - 3 = \pm 2\sqrt{5} \implies x_{2,3} = 3 \pm 2\sqrt{5}$

Ответ: $3; 3 - 2\sqrt{5}; 3 + 2\sqrt{5}$.