Номер 924, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 924, страница 252.

Условие.

924. Найдите корни уравнения:

а) $y^4 - 2y^2 = 0;$

б) $t^3 + 11t^2 + 28t = 0;$

в) $x^3 + x^2 - 2x - 2 = 0;$

г) $k^3 + k^2 - 16k - 16 = 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y^4 - 2y^2 = 0$

Это уравнение решается вынесением общего множителя за скобки. Вынесем $y^2$:

$y^2(y^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $y^2 = 0$, что дает корень $y_1 = 0$.

2) $y^2 - 2 = 0$. Перенесем 2 в правую часть: $y^2 = 2$. Из этого уравнения получаем еще два корня: $y_2 = \sqrt{2}$ и $y_3 = -\sqrt{2}$.

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: $-\sqrt{2}; 0; \sqrt{2}$.

б) $t^3 + 11t^2 + 28t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t^2 + 11t + 28) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $t_1 = 0$.

2) $t^2 + 11t + 28 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 3}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

$t_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-7; -4; 0$.

в) $x^3 + x^2 - 2x - 2 = 0$

Решим это уравнение методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + x^2) + (-2x - 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x + 1) - 2(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x + 1 = 0$, откуда $x_1 = -1$.

2) $x^2 - 2 = 0$, откуда $x^2 = 2$. Получаем еще два корня: $x_2 = \sqrt{2}$ и $x_3 = -\sqrt{2}$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-\sqrt{2}; -1; \sqrt{2}$.

г) $k^3 + k^2 - 16k - 16 = 0$

Применим метод группировки слагаемых:

$(k^3 + k^2) + (-16k - 16) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$k^2(k + 1) - 16(k + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(k+1)$:

$(k + 1)(k^2 - 16) = 0$

Второй множитель $k^2 - 16$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(k-4)(k+4)$.

$(k + 1)(k - 4)(k + 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

1) $k + 1 = 0 \implies k_1 = -1$.

2) $k - 4 = 0 \implies k_2 = 4$.

3) $k + 4 = 0 \implies k_3 = -4$.

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-4; -1; 4$.