Номер 944, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 944, страница 255.

Условие.

944. Решите систему уравнений:

а)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ x^2 - 49y^2 = 0; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1, \\ 3x + 7y^2 = 1. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x^2 - 49y^2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x^2$:

$x^2 = 49y^2$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$49y^2 + y^2 = 100$

$50y^2 = 100$

$y^2 = \frac{100}{50}$

$y^2 = 2$

Отсюда находим возможные значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{2}$, $y_2 = -\sqrt{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$. Подставим $y^2 = 2$ в выражение $x^2 = 49y^2$:

$x^2 = 49 \cdot 2$

$x^2 = 98$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$

$x_2 = -\sqrt{98} = -\sqrt{49 \cdot 2} = -7\sqrt{2}$

Таким образом, система имеет четыре решения, которые являются комбинациями найденных значений $x$ и $y$:

$(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$

Ответ: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2}); (-7\sqrt{2}, \sqrt{2}); (7\sqrt{2}, -\sqrt{2}); (-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1 \\ 3x + 7y^2 = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $7y^2$, а затем $y^2$:

$7y^2 = 1 - 3x$

$y^2 = \frac{1 - 3x}{7}$

Подставим полученное выражение для $y^2$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 5\left(\frac{1 - 3x}{7}\right) = -1$

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7x^2 - 5(1 - 3x) = -7$

$7x^2 - 5 + 15x = -7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$7x^2 + 15x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 225 - 56 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 13}{2 \cdot 7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 13}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y^2 = \frac{1 - 3x}{7}$. Важно помнить, что $y^2$ не может быть отрицательным.

Случай 1: $x = -2$

$y^2 = \frac{1 - 3(-2)}{7} = \frac{1 + 6}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Отсюда $y = \pm\sqrt{1}$, то есть $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Получаем две пары решений: $(-2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $x = -\frac{1}{7}$

$y^2 = \frac{1 - 3(-\frac{1}{7})}{7} = \frac{1 + \frac{3}{7}}{7} = \frac{\frac{10}{7}}{7} = \frac{10}{49}$

Отсюда $y = \pm\sqrt{\frac{10}{49}}$, то есть $y_3 = \frac{\sqrt{10}}{7}$ и $y_4 = -\frac{\sqrt{10}}{7}$.

Получаем еще две пары решений: $(-\frac{1}{7}, \frac{\sqrt{10}}{7})$ и $(-\frac{1}{7}, -\frac{\sqrt{10}}{7})$.

Ответ: $(-2, 1); (-2, -1); (-\frac{1}{7}, \frac{\sqrt{10}}{7}); (-\frac{1}{7}, -\frac{\sqrt{10}}{7})$.