Номер 938, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 938, страница 254.

Условие.

938. При каких значениях $c$ корни уравнения $3x^2 + 2x + c = 0$ относятся как 2 : 3?

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано квадратное уравнение $3x^2 + 2x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, корни уравнения относятся как $2 : 3$. Это означает, что мы можем представить корни в виде $x_1 = 2k$ и $x_2 = 3k$ для некоторого ненулевого числа $k$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0$. Сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Для нашего уравнения $3x^2 + 2x + c = 0$ коэффициенты равны $a=3$, $b=2$. Применим теорему Виета:

1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2/3$

2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/3$

Теперь подставим выражения для корней ($x_1 = 2k$, $x_2 = 3k$) в эти формулы, чтобы составить систему уравнений относительно $k$ и $c$.

Из формулы для суммы корней получаем:

$2k + 3k = -2/3$

$5k = -2/3$

Отсюда находим значение $k$:

$k = (-2/3) \div 5 = -2/15$

Теперь используем формулу для произведения корней:

$(2k) \cdot (3k) = c/3$

$6k^2 = c/3$

Подставим найденное значение $k = -2/15$ в это уравнение:

$6 \cdot (-2/15)^2 = c/3$

$6 \cdot (4/225) = c/3$

$24/225 = c/3$

Выразим $c$:

$c = 3 \cdot (24/225) = 72/225$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:

$c = (72 \div 9) / (225 \div 9) = 8/25$

Проверим, что при этом значении $c$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным.

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (8/25) = 4 - 12 \cdot (8/25) = 4 - 96/25 = 100/25 - 96/25 = 4/25$

Так как $D = 4/25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует условию задачи.

Ответ: $c = 8/25$