Номер 949, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 949, страница 255.

Условие.

949. Решите уравнение:

a) $\frac{1}{x^2 - 2x + 2} + \frac{2}{x^2 - 2x + 3} = \frac{6}{x^2 - 2x + 4}$;

б) $20\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^2 - 5\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^2 + 48\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное уравнение: $\frac{1}{x^2 - 2x + 2} + \frac{2}{x^2 - 2x + 3} = \frac{6}{x^2 - 2x + 4}$.

Заметим, что в знаменателях дробей присутствует одинаковое выражение $x^2 - 2x$. Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 2x$.

Тогда уравнение принимает вид: $\frac{1}{y + 2} + \frac{2}{y + 3} = \frac{6}{y + 4}$.

Область допустимых значений для $y$: $y+2 \neq 0$, $y+3 \neq 0$, $y+4 \neq 0$. Следовательно, $y \neq -2$, $y \neq -3$, $y \neq -4$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(y+2)(y+3)$:

$\frac{y+3 + 2(y+2)}{(y+2)(y+3)} = \frac{6}{y+4}$

$\frac{y+3 + 2y+4}{y^2+5y+6} = \frac{6}{y+4}$

$\frac{3y+7}{y^2+5y+6} = \frac{6}{y+4}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(3y+7)(y+4) = 6(y^2+5y+6)$

$3y^2 + 12y + 7y + 28 = 6y^2 + 30y + 36$

$3y^2 + 19y + 28 = 6y^2 + 30y + 36$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$6y^2 - 3y^2 + 30y - 19y + 36 - 28 = 0$

$3y^2 + 11y + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 121 - 96 = 25 = 5^2$

$y_1 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 5}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

$y_2 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Оба найденных значения для $y$ удовлетворяют ограничениям ($y \neq -2, -3, -4$).

Выполним обратную замену $y = x^2 - 2x$.

Случай 1: $y_1 = -\frac{8}{3}$

$x^2 - 2x = -\frac{8}{3}$

$x^2 - 2x + \frac{8}{3} = 0$

Умножим на 3: $3x^2 - 6x + 8 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 36 - 96 = -60$. Так как $D_x < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $y_2 = -1$

$x^2 - 2x = -1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x-1)^2 = 0$

$x-1 = 0 \implies x = 1$

Данный корень является единственным решением уравнения.

Ответ: $1$.

б) Исходное уравнение: $20\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 - 5\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 + 48\frac{x^2-4}{x^2-1} = 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Преобразуем третий член уравнения, разложив числитель и знаменатель на множители:

$\frac{x^2-4}{x^2-1} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \left(\frac{x-2}{x+1}\right)\left(\frac{x+2}{x-1}\right)$

Введем новые переменные для упрощения. Пусть $u = \frac{x-2}{x+1}$ и $v = \frac{x+2}{x-1}$.

Тогда уравнение примет вид:

$20u^2 - 5v^2 + 48uv = 0$

Перепишем его в стандартном виде:

$20u^2 + 48uv - 5v^2 = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на $v^2$ (можно проверить, что $v \neq 0$, иначе $x=-2$, что не является решением):

$20\left(\frac{u}{v}\right)^2 + 48\left(\frac{u}{v}\right) - 5 = 0$

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{u}{v}$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$20t^2 + 48t - 5 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 48^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-5) = 2304 + 400 = 2704 = 52^2$

$t_1 = \frac{-48 - 52}{2 \cdot 20} = \frac{-100}{40} = -\frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{-48 + 52}{2 \cdot 20} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$

Теперь вернемся к переменной $x$. Вспомним, что $t = \frac{u}{v} = \frac{\frac{x-2}{x+1}}{\frac{x+2}{x-1}} = \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t_1 = -\frac{5}{2}$

$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} = -\frac{5}{2}$

$2(x^2-3x+2) = -5(x^2+3x+2)$

$2x^2-6x+4 = -5x^2-15x-10$

$7x^2+9x+14=0$

Найдем дискриминант: $D_x = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 14 = 81 - 392 = -311$. Так как $D_x < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $t_2 = \frac{1}{10}$

$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} = \frac{1}{10}$

$10(x^2-3x+2) = 1(x^2+3x+2)$

$10x^2-30x+20 = x^2+3x+2$

$9x^2-33x+18=0$

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить коэффициенты:

$3x^2 - 11x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D_x = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = 3$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: $\frac{2}{3}; 3$.