Номер 112, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 112, страница 308.

Условие.

112. Совпадают ли на единичной окружности точки, соответствующие углам:

а) $12\frac{1}{5}\pi$ и $\frac{31}{5}\pi$;

б) $12\frac{1}{3}\pi$ и $\frac{7}{3}\pi$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Две точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha_1$ и $\alpha_2$, совпадают, если их разность является целым кратным $2\pi$. Это означает, что должно выполняться условие $\alpha_1 - \alpha_2 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Рассмотрим углы $\alpha_1 = 12\frac{1}{5}\pi$ и $\alpha_2 = \frac{31}{5}\pi$.

Для начала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $12\frac{1}{5}\pi = \frac{12 \times 5 + 1}{5}\pi = \frac{61}{5}\pi$.

Теперь найдем разность этих двух углов: $\frac{61}{5}\pi - \frac{31}{5}\pi = \frac{61 - 31}{5}\pi = \frac{30}{5}\pi = 6\pi$.

Полученную разность можно представить в виде $6\pi = 3 \cdot 2\pi$.

Поскольку разность углов равна $6\pi$, что соответствует трем полным оборотам по окружности ($k=3$), то точки, соответствующие этим углам, совпадают.

Ответ: да, совпадают.

б)

Проверим, совпадают ли точки для углов $\alpha_1 = 12\frac{1}{3}\pi$ и $\alpha_2 = \frac{7}{3}\pi$, используя тот же принцип.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $12\frac{1}{3}\pi = \frac{12 \times 3 + 1}{3}\pi = \frac{37}{3}\pi$.

Найдем разность углов: $\frac{37}{3}\pi - \frac{7}{3}\pi = \frac{37 - 7}{3}\pi = \frac{30}{3}\pi = 10\pi$.

Представим разность в виде, кратном $2\pi$: $10\pi = 5 \cdot 2\pi$.

Разность углов равна $10\pi$, что соответствует пяти полным оборотам по окружности ($k=5$). Следовательно, точки, соответствующие этим углам, также совпадают.

Ответ: да, совпадают.