Номер 113, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 113, страница 308.

Условие.

113. Укажите на единичной окружности точки, соответствующие углам:

а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

б) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

в) $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

г) $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Выражение $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, описывает множество углов. Член $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов ($2\pi$ радиан или $360^\circ$). Добавление или вычитание полных оборотов не меняет положения точки на единичной окружности. Поэтому все углы этого множества соответствуют одной и той же точке, что и угол $\frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$. На единичной окружности этому углу соответствует точка в первой координатной четверти. Чтобы найти эту точку, мы отсчитываем от положительного направления оси Оx угол $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки. Координаты этой точки: $(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: На единичной окружности все углы вида $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ соответствуют одной точке, расположенной в первой четверти и соответствующей углу $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$).

б) Выражение $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, аналогично предыдущему пункту, описывает множество углов, которым на единичной окружности соответствует одна точка. Эта точка определяется базовым углом $-\frac{\pi}{4}$. Отрицательный угол означает, что отсчет ведется по часовой стрелке от положительного направления оси Оx. Угол $-\frac{\pi}{4}$ радиан равен $-45^\circ$. Эта точка находится в четвертой координатной четверти. Этому же положению соответствует положительный угол $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. Координаты этой точки: $(\cos(-\frac{\pi}{4}), \sin(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: На единичной окружности все углы вида $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ соответствуют одной точке, расположенной в четвертой четверти и соответствующей углу $-\frac{\pi}{4}$ (или $-45^\circ$).

в) Выражение $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, описывает множество углов, кратных $\pi$ (или $180^\circ$). Рассмотрим значения для разных целых $k$. Если $k$ — четное число (например, $k=0, 2, -2, ...$), то угол можно записать как $\pi \cdot (2n) = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все эти углы ($0, 2\pi, -2\pi, ...$) соответствуют одной и той же точке на единичной окружности — точке с координатами $(1, 0)$, которая находится на положительной части оси Ox. Если $k$ — нечетное число (например, $k=1, -1, 3, ...$), то угол можно записать как $\pi \cdot (2n+1) = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все эти углы ($\pi, -\pi, 3\pi, ...$) соответствуют другой точке — точке с координатами $(-1, 0)$, которая находится на отрицательной части оси Ox. Таким образом, данное выражение задает две точки на единичной окружности.

Ответ: Углам вида $\pi k$ соответствуют две точки на единичной окружности: $(1, 0)$ (соответствует углу $0$) и $(-1, 0)$ (соответствует углу $\pi$). Эти точки являются точками пересечения окружности с осью абсцисс (Ox).

г) Выражение $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, описывает множество углов, которые отличаются друг от друга на целое число полуоборотов ($\pi$ или $180^\circ$) от базового угла $\frac{\pi}{2}$. При $k=0$ получаем угол $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$). Это точка на единичной окружности с координатами $(0, 1)$, расположенная на положительной части оси Oy. При $k=1$ получаем угол $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$). Это точка с координатами $(0, -1)$, расположенная на отрицательной части оси Oy. При $k=2$ получаем угол $\frac{\pi}{2} + 2\pi$, что соответствует той же точке, что и угол $\frac{\pi}{2}$. При $k=3$ получаем угол $\frac{\pi}{2} + 3\pi$, что соответствует той же точке, что и угол $\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, мы получаем две диаметрально противоположные точки.

Ответ: Углам вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$ соответствуют две точки на единичной окружности: $(0, 1)$ (соответствует углу $\frac{\pi}{2}$) и $(0, -1)$ (соответствует углу $\frac{3\pi}{2}$). Эти точки являются точками пересечения окружности с осью ординат (Oy).