Номер 110, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 110, страница 308.

Условие.

110. Укажите точку B на единичной окружности, соответствующую

углу:

а) $\frac{\pi}{2}$;

б) $\frac{3\pi}{2}$;

в) $-\pi$;

г) $-2\pi$;

д) $\frac{3\pi}{4}$;

е) $-\frac{2\pi}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы указать точку $B$ на единичной окружности, соответствующую заданному углу, необходимо отложить этот угол от положительного направления оси Ох. Начальной точкой является $(1, 0)$. Положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке. Координаты точки $B$, соответствующей углу $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

а) $\frac{\pi}{2}$

Угол $\frac{\pi}{2}$ радиан равен $90^\circ$. Для нахождения соответствующей точки $B$ на единичной окружности, мы откладываем от начальной точки $(1, 0)$ угол $90^\circ$ против часовой стрелки. Этот поворот приводит нас в точку, лежащую на положительной части оси Oy. Координаты этой точки равны $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.

Ответ: Точка $B$ имеет координаты $(0, 1)$. Она является верхней точкой единичной окружности.

б) $\frac{3\pi}{2}$

Угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан равен $270^\circ$. Откладываем от начальной точки $(1, 0)$ угол $270^\circ$ против часовой стрелки, что соответствует трем четвертям полного оборота. Этот поворот приводит нас в точку, лежащую на отрицательной части оси Oy. Координаты этой точки равны $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.

Ответ: Точка $B$ имеет координаты $(0, -1)$. Она является нижней точкой единичной окружности.

в) $-\pi$

Угол $-\pi$ радиан равен $-180^\circ$. Знак "минус" указывает, что поворот осуществляется по часовой стрелке. Откладываем от начальной точки $(1, 0)$ угол $180^\circ$ по часовой стрелке, что соответствует половине полного оборота. Этот поворот приводит нас в точку, лежащую на отрицательной части оси Ox. Координаты этой точки равны $(\cos(-\pi), \sin(-\pi)) = (-1, 0)$.

Ответ: Точка $B$ имеет координаты $(-1, 0)$. Она является крайней левой точкой единичной окружности.

г) $-2\pi$

Угол $-2\pi$ радиан равен $-360^\circ$. Знак "минус" указывает на поворот по часовой стрелке. Угол $2\pi$ соответствует полному обороту. Таким образом, мы совершаем полный оборот по часовой стрелке от начальной точки $(1, 0)$ и возвращаемся в неё же. Координаты этой точки равны $(\cos(-2\pi), \sin(-2\pi)) = (\cos(0), \sin(0)) = (1, 0)$.

Ответ: Точка $B$ имеет координаты $(1, 0)$. Она является начальной (крайней правой) точкой единичной окружности.

д) $\frac{3\pi}{4}$

Угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан равен $135^\circ$. От начальной точки $(1, 0)$ совершаем поворот против часовой стрелки на угол $\frac{3\pi}{4}$. Этот угол находится во второй координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$. Для нахождения координат точки $B$ вычислим косинус и синус этого угла. Опорный угол равен $\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. Во второй четверти косинус отрицателен, а синус положителен.Координаты точки $B$: $x = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Точка $B$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

е) $-\frac{2\pi}{3}$

Угол $-\frac{2\pi}{3}$ радиан равен $-120^\circ$. От начальной точки $(1, 0)$ совершаем поворот по часовой стрелке (так как угол отрицательный) на $\frac{2\pi}{3}$ или $120^\circ$. Этот поворот приводит нас в третью координатную четверть. Для нахождения координат точки $B$ вычислим косинус и синус угла $-\frac{2\pi}{3}$. Используем свойства четности тригонометрических функций: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.Координаты точки $B$: $x = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3})$ и $y = \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3})$.Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, его опорный угол равен $\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.$x = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.$y = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, координаты точки $B$ равны $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $B$ имеет координаты $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.