Номер 116, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 116, страница 309.

Условие.

116. Укажите значения $sin \alpha$, $cos \alpha$, $tg \alpha$, $ctg \alpha$, если точка $B_\alpha$ единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты:

а) $(x; y)$;

б) $(\frac{3}{5}; \frac{4}{5})$;

в) $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$;

г) $(-\frac{12}{13}; \frac{5}{13})$;

д) $(-\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{8}}{3})$;

е) $(0; -1).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) По определению тригонометрических функций на единичной окружности, для точки $B_{\alpha}$ с координатами $(x; y)$ имеем: абсцисса точки равна косинусу угла $\alpha$, а ордината — синусу угла $\alpha$. Таким образом, $cos \alpha = x$ и $sin \alpha = y$. Тангенс и котангенс определяются как отношения синуса к косинусу и косинуса к синусу соответственно: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{y}{x}$ (при условии, что $cos \alpha \neq 0$, то есть $x \neq 0$) и $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{x}{y}$ (при условии, что $sin \alpha \neq 0$, то есть $y \neq 0$).
Ответ: $sin \alpha = y$, $cos \alpha = x$, $tg \alpha = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$), $ctg \alpha = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$).

б) Для точки с координатами $(\frac{3}{5}; \frac{4}{5})$ имеем $x = \frac{3}{5}$ и $y = \frac{4}{5}$. Отсюда находим значения тригонометрических функций: $cos \alpha = \frac{3}{5}$, $sin \alpha = \frac{4}{5}$, $tg \alpha = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$, $ctg \alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $sin \alpha = \frac{4}{5}$, $cos \alpha = \frac{3}{5}$, $tg \alpha = \frac{4}{3}$, $ctg \alpha = \frac{3}{4}$.

в) Для точки с координатами $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ имеем $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда находим: $cos \alpha = \frac{1}{2}$, $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg \alpha = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$, $ctg \alpha = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos \alpha = \frac{1}{2}$, $tg \alpha = -\sqrt{3}$, $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Для точки с координатами $(-\frac{12}{13}; \frac{5}{13})$ имеем $x = -\frac{12}{13}$ и $y = \frac{5}{13}$. Отсюда находим: $cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $sin \alpha = \frac{5}{13}$, $tg \alpha = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$, $ctg \alpha = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}$.
Ответ: $sin \alpha = \frac{5}{13}$, $cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $tg \alpha = -\frac{5}{12}$, $ctg \alpha = -\frac{12}{5}$.

д) Для точки с координатами $(-\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{8}}{3})$ имеем $x = -\frac{1}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{8}}{3}$. Упростим ординату: $y = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Отсюда находим: $cos \alpha = -\frac{1}{3}$, $sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $tg \alpha = \frac{2\sqrt{2}/3}{-1/3} = -2\sqrt{2}$, $ctg \alpha = \frac{-1/3}{2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $cos \alpha = -\frac{1}{3}$, $tg \alpha = -2\sqrt{2}$, $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

е) Для точки с координатами $(0; -1)$ имеем $x = 0$ и $y = -1$. Отсюда находим: $cos \alpha = 0$, $sin \alpha = -1$. Тангенс $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-1}{0}$ не определен, так как знаменатель равен нулю. Котангенс $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: $sin \alpha = -1$, $cos \alpha = 0$, $tg \alpha$ не существует, $ctg \alpha = 0$.