Номер 119, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 119, страница 309.

Условие.

119. Найдите угол $0^{\circ} < a < 360^{\circ}$, при котором все тригонометрические функции имеют те же значения, что и для угла, равного:

a) 780°;

б) 990°;

в) -560°;

г) -690°.

Решение.

Решение 2 (rus).

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и т.д.) являются периодическими. Основной период для синуса, косинуса, секанса и косеканса равен $360°$ (или $2\pi$ радиан), а для тангенса и котангенса — $180°$. Однако, чтобы значения всех функций совпадали, угол должен отличаться на целое число полных оборотов, то есть на $k \cdot 360°$, где $k$ — любое целое число.

Таким образом, для заданного угла $\beta$ нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\alpha = \beta + k \cdot 360°$ и при этом выполняется условие $0° < \alpha < 360°$.

а)

Дан угол $780°$. Чтобы найти эквивалентный угол в заданном диапазоне, будем вычитать из него $360°$ до тех пор, пока результат не попадет в интервал $(0°, 360°)$.

Представим $780°$ в виде $\alpha + k \cdot 360°$. Разделим $780$ на $360$ с остатком:

$780° = 2 \cdot 360° + 60°$

Таким образом, угол $\alpha$, соответствующий углу $780°$ на единичной окружности, равен $60°$. Этот угол удовлетворяет условию $0° < 60° < 360°$.

Ответ: $60°$

б)

Дан угол $990°$. Аналогично предыдущему пункту, найдем остаток от деления на $360°$.

$990° = 2 \cdot 360° + 270°$

Это означает, что $990° = 720° + 270°$. Искомый угол $\alpha = 270°$. Он удовлетворяет условию $0° < 270° < 360°$.

Ответ: $270°$

в)

Дан угол $-560°$. Так как угол отрицательный, мы будем прибавлять к нему $360°$ до тех пор, пока не получим значение в интервале $(0°, 360°)$.

$\alpha = -560° + k \cdot 360°$

При $k=1$: $-560° + 360° = -200°$. Это значение не входит в заданный интервал.

При $k=2$: $-560° + 2 \cdot 360° = -560° + 720° = 160°$.

Полученное значение $160°$ удовлетворяет условию $0° < 160° < 360°$.

Ответ: $160°$

г)

Дан угол $-690°$. Прибавляем $360°$, чтобы получить положительный угол в нужном диапазоне.

$\alpha = -690° + k \cdot 360°$

При $k=1$: $-690° + 360° = -330°$.

При $k=2$: $-690° + 2 \cdot 360° = -690° + 720° = 30°$.

Угол $30°$ удовлетворяет условию $0° < 30° < 360°$.

Ответ: $30°$