Номер 126, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 126, страница 310.

Условие.

126. Укажите наибольшее и наименьшее значение функции, если они существуют:

а) $y = \operatorname{cos} x$;

б) $y = \operatorname{ctg} x$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)Функция $y = \cos x$.
Областью значений функции косинус является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции $\cos x$ находится в пределах от -1 до 1 включительно, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Следовательно, функция имеет как наибольшее, так и наименьшее значение.
Наибольшее значение функции равно 1. Оно достигается, например, при $x=0$, $x=2\pi$, $x=-2\pi$ и в общем виде при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение функции равно -1. Оно достигается, например, при $x=\pi$, $x=3\pi$, $x=-\pi$ и в общем виде при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: наибольшее значение равно 1, наименьшее значение равно -1.

б)Функция $y = \text{ctg } x$.
Функция котангенс определяется как отношение $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Область значений этой функции — множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty, +\infty)$.
Это можно увидеть из поведения функции. Например, если $x$ стремится к 0 справа ($x \to 0+$), то $\cos x \to 1$, а $\sin x \to 0$ (оставаясь положительным). В результате, их отношение $\text{ctg } x$ стремится к $+\infty$. Если же $x$ стремится к $\pi$ слева ($x \to \pi-$), то $\cos x \to -1$, а $\sin x \to 0$ (оставаясь положительным), и $\text{ctg } x$ стремится к $-\infty$.
Поскольку функция может принимать сколь угодно большие положительные и сколь угодно большие по модулю отрицательные значения, она не ограничена ни сверху, ни снизу. Таким образом, у функции $y = \text{ctg } x$ не существует ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.