Номер 131, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 131, страница 311.

Условие.

131. Заполните таблицу:

Функция

Знаки функции в четвертях

I

II

III

IV

$y = \sin x$

$y = \cos x$

$y = \tan x$

$y = \cot x$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для определения знаков тригонометрических функций в координатных четвертях используется единичная окружность. Знак функции зависит от знаков координат ($x$ и $y$) точки на окружности, соответствующей углу.

y = sin x
Знак функции $y = \sin x$ совпадает со знаком ординаты (координаты $y$) точки на единичной окружности.
В I четверти ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) координата $y$ положительна, значит $\sin x > 0$ (знак "+").
Во II четверти ($\frac{\pi}{2} < x < \pi$) координата $y$ положительна, значит $\sin x > 0$ (знак "+").
В III четверти ($\pi < x < \frac{3\pi}{2}$) координата $y$ отрицательна, значит $\sin x < 0$ (знак "-").
В IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$) координата $y$ отрицательна, значит $\sin x < 0$ (знак "-").
Ответ: I: +, II: +, III: -, IV: -.

y = cos x
Знак функции $y = \cos x$ совпадает со знаком абсциссы (координаты $x$) точки на единичной окружности.
В I четверти координата $x$ положительна, значит $\cos x > 0$ (знак "+").
Во II четверти координата $x$ отрицательна, значит $\cos x < 0$ (знак "-").
В III четверти координата $x$ отрицательна, значит $\cos x < 0$ (знак "-").
В IV четверти координата $x$ положительна, значит $\cos x > 0$ (знак "+").
Ответ: I: +, II: -, III: -, IV: +.

y = tg x
Знак функции $y = \text{tg } x$ определяется по формуле $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Знак будет положительным, если знаки $\sin x$ и $\cos x$ совпадают, и отрицательным, если они различны.
В I четверти: $\sin x > 0$, $\cos x > 0$, поэтому $\text{tg } x > 0$ (знак "+").
Во II четверти: $\sin x > 0$, $\cos x < 0$, поэтому $\text{tg } x < 0$ (знак "-").
В III четверти: $\sin x < 0$, $\cos x < 0$, поэтому $\text{tg } x > 0$ (знак "+").
В IV четверти: $\sin x < 0$, $\cos x > 0$, поэтому $\text{tg } x < 0$ (знак "-").
Ответ: I: +, II: -, III: +, IV: -.

y = ctg x
Знак функции $y = \text{ctg } x$ определяется по формуле $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Знаки $\text{ctg } x$ и $\text{tg } x$ совпадают во всех четвертях.
В I четверти: $\cos x > 0$, $\sin x > 0$, поэтому $\text{ctg } x > 0$ (знак "+").
Во II четверти: $\cos x < 0$, $\sin x > 0$, поэтому $\text{ctg } x < 0$ (знак "-").
В III четверти: $\cos x < 0$, $\sin x < 0$, поэтому $\text{ctg } x > 0$ (знак "+").
В IV четверти: $\cos x > 0$, $\sin x < 0$, поэтому $\text{ctg } x < 0$ (знак "-").
Ответ: I: +, II: -, III: +, IV: -.