Номер 134, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 134, страница 311.

Условие.

134. Вычислите:

а) $\sin 330^\circ$;

б) $\cos 1110^\circ$;

в) $\tan 315^\circ$;

г) $\cot 495^\circ$;

д) $\cos 4\pi$;

е) $\sin \frac{7\pi}{2}$;

ж) $\tan \frac{8\pi}{3}$;

з) $\cot \frac{5\pi}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления $sin 330^\circ$ воспользуемся формулой приведения. Угол $330^\circ$ находится в IV четверти. Его можно представить как $360^\circ - 30^\circ$.
$sin 330^\circ = sin(360^\circ - 30^\circ) = -sin 30^\circ$.
Зная, что $sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$sin 330^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Косинус является периодической функцией с периодом $360^\circ$, то есть $cos(x) = cos(x + 360^\circ \cdot k)$ для любого целого $k$.
Найдем остаток от деления $1110^\circ$ на $360^\circ$:
$1110^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 30^\circ = 1080^\circ + 30^\circ$.
Следовательно, $cos 1110^\circ = cos(3 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = cos 30^\circ$.
Значение $cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Для вычисления $tg 315^\circ$ воспользуемся формулой приведения. Угол $315^\circ$ находится в IV четверти. Его можно представить как $360^\circ - 45^\circ$.
$tg 315^\circ = tg(360^\circ - 45^\circ) = -tg 45^\circ$.
Зная, что $tg 45^\circ = 1$, получаем:
$tg 315^\circ = -1$.
Ответ: $-1$

г) Котангенс является периодической функцией с периодом $180^\circ$.
Найдем остаток от деления $495^\circ$ на $180^\circ$:
$495^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 135^\circ = 360^\circ + 135^\circ$.
Следовательно, $ctg 495^\circ = ctg(2 \cdot 180^\circ + 135^\circ) = ctg 135^\circ$.
Теперь используем формулу приведения для $135^\circ$:
$ctg 135^\circ = ctg(180^\circ - 45^\circ) = -ctg 45^\circ$.
Так как $ctg 45^\circ = 1$, то $ctg 135^\circ = -1$.
Ответ: $-1$

д) Косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$. Это означает, что $cos(x) = cos(x + 2\pi \cdot k)$ для любого целого $k$.
Угол $4\pi$ можно представить как $2 \cdot 2\pi$.
$cos(4\pi) = cos(2 \cdot 2\pi + 0) = cos(0)$.
Значение $cos(0) = 1$.
Ответ: $1$

е) Синус — периодическая функция с периодом $2\pi$. Представим угол $\frac{7\pi}{2}$ в виде суммы, содержащей целое число периодов.
$\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
$sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2})$.
Значение $sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$

ж) Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$. Представим угол $\frac{8\pi}{3}$.
$\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$.
Поскольку период тангенса $\pi$, то и $2\pi$ является периодом. $tg(\frac{8\pi}{3}) = tg(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = tg(\frac{2\pi}{3})$.
Теперь используем формулу приведения:
$tg(\frac{2\pi}{3}) = tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3})$.
Значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, следовательно $tg(\frac{8\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

з) Котангенс — периодическая функция с периодом $\pi$. Представим угол $\frac{5\pi}{2}$.
$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Поскольку период котангенса $\pi$, то и $2\pi$ является периодом.
$ctg(\frac{5\pi}{2}) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{2}) = ctg(\frac{\pi}{2})$.
Значение $ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(\pi/2)}{sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$