Номер 137, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 137, страница 311.

Условие.

137. Упростите выражение:

a) $1 - \sin^2x;$

в) $1 - \cos^2x;$

д) $2 - \sin^2x - \cos^2x;$

б) $\frac{1}{\operatorname{tg} x} \cdot \frac{1}{\operatorname{ctg} x};$

г) $\frac{\cos x}{1+\sin x}+\operatorname{tg} x;$

е) $\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $1 - \sin^2x$ используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

Если выразить $\cos^2x$ из этого тождества, мы получим: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Таким образом, исходное выражение равно $\cos^2x$.

Ответ: $\cos^2x$

б) Рассмотрим выражение $\frac{1}{\text{tg } x} \cdot \frac{1}{\text{ctg } x}$.

Мы знаем, что тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами, то есть $\text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1$.

Перемножив дроби, получим: $\frac{1 \cdot 1}{\text{tg } x \cdot \text{ctg } x} = \frac{1}{1} = 1$.

Другой способ решения — использовать тождества $\frac{1}{\text{tg } x} = \text{ctg } x$ и $\frac{1}{\text{ctg } x} = \text{tg } x$. Тогда выражение принимает вид $\text{ctg } x \cdot \text{tg } x = 1$.

Ответ: $1$

в) Для упрощения выражения $1 - \cos^2x$ снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

Выразим из него $\sin^2x$: $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

Следовательно, исходное выражение равно $\sin^2x$.

Ответ: $\sin^2x$

г) Упростим выражение $\frac{\cos x}{1 + \sin x} + \text{tg } x$.

Заменим $\text{tg } x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$: $\frac{\cos x}{1 + \sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos x (1 + \sin x)$:

$\frac{\cos x \cdot \cos x}{\cos x (1 + \sin x)} + \frac{\sin x (1 + \sin x)}{\cos x (1 + \sin x)} = \frac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos x (1 + \sin x)}$.

В числителе сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$\frac{(\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin x}{\cos x (1 + \sin x)} = \frac{1 + \sin x}{\cos x (1 + \sin x)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin x)$:

$\frac{1}{\cos x}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos x}$

д) Рассмотрим выражение $2 - \sin^2x - \cos^2x$.

Вынесем $-1$ за скобки у второго и третьего слагаемых: $2 - (\sin^2x + \cos^2x)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, заменим выражение в скобках на единицу:

$2 - 1 = 1$.

Ответ: $1$

е) Упростим выражение $\frac{\sin x}{1 - \cos x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$:

$\frac{\sin x (1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} + \frac{\sin x (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$.

Сложим числители: $\frac{\sin x (1 + \cos x) + \sin x (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$.

Раскроем скобки в числителе: $\frac{\sin x + \sin x \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{2 \sin x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$.

В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2x$.

Выражение примет вид: $\frac{2 \sin x}{1 - \cos^2x}$.

Из основного тригонометрического тождества следует, что $1 - \cos^2x = \sin^2x$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{2 \sin x}{\sin^2x}$.

Сократим дробь на $\sin x$: $\frac{2}{\sin x}$.

Ответ: $\frac{2}{\sin x}$