Номер 132, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 132, страница 311.

Условие.

132. Определите знак выражения:

а) $\sin \frac{5\pi}{6}$;

б) $\cos \frac{2\pi}{3}$;

в) $\sin 2$;

г) $\cos (-3)$;

д) $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}$;

е) $\operatorname{ctg} (-\frac{\pi}{4})$;

ж) $\operatorname{tg} 4$;

з) $\operatorname{ctg} \frac{7\pi}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы определить знак выражения $ \sin\frac{5\pi}{6} $, необходимо найти, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha = \frac{5\pi}{6} $. Сравним этот угол с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} $ и $ \pi = \frac{6\pi}{6} $. Неравенство $ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $ показывает, что угол находится во второй четверти. Синус во второй четверти имеет положительный знак. Таким образом, $ \sin\frac{5\pi}{6} > 0 $.Ответ: знак плюс (+).

б) Определим знак выражения $ \cos\frac{2\pi}{3} $. Угол $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $. Сравним его с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} = \frac{1.5\pi}{3} $ и $ \pi = \frac{3\pi}{3} $. Так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi $, угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти имеет отрицательный знак. Следовательно, $ \cos\frac{2\pi}{3} < 0 $.Ответ: знак минус (−).

в) Определим знак выражения $ \sin 2 $. Угол задан в радианах. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $. Тогда $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $. Поскольку $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол $ \alpha = 2 $ радиана находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен. Значит, $ \sin 2 > 0 $.Ответ: знак плюс (+).

г) Определим знак выражения $ \cos(-3) $. Косинус является четной функцией, поэтому $ \cos(-3) = \cos(3) $. Угол $ \alpha = 3 $ радиана. Сравним его с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $ и $ \pi \approx 3.14 $. Так как $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $, угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен. Таким образом, $ \cos(-3) < 0 $.Ответ: знак минус (−).

д) Определим знак выражения $ \tg\frac{3\pi}{4} $. Угол $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $. Сравним его с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} $ и $ \pi = \frac{4\pi}{4} $. Так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi $, угол находится во второй четверти. Тангенс во второй четверти имеет отрицательный знак. Следовательно, $ \tg\frac{3\pi}{4} < 0 $.Ответ: знак минус (−).

е) Определим знак выражения $ \ctg(-\frac{\pi}{4}) $. Котангенс является нечетной функцией, поэтому $ \ctg(-\frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4}) $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Значит, $ \ctg(\frac{\pi}{4}) > 0 $, и $ -\ctg(\frac{\pi}{4}) < 0 $. Альтернативно, угол $ -\frac{\pi}{4} $ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Таким образом, $ \ctg(-\frac{\pi}{4}) < 0 $.Ответ: знак минус (−).

ж) Определим знак выражения $ \tg 4 $. Угол $ \alpha = 4 $ радиана. Сравним его с границами четвертей: $ \pi \approx 3.14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $. Поскольку $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $, угол находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти положителен. Значит, $ \tg 4 > 0 $.Ответ: знак плюс (+).

з) Определим знак выражения $ \ctg\frac{7\pi}{3} $. Угол $ \alpha = \frac{7\pi}{3} $. Так как тригонометрические функции периодичны, мы можем упростить угол. Период котангенса $ \pi $, но удобнее использовать $ 2\pi $. $ \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} $. Угол $ \frac{7\pi}{3} $ соответствует углу $ \frac{\pi}{3} $ на единичной окружности. Угол $ \frac{\pi}{3} $ находится в первой четверти, так как $ 0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} $. Котангенс в первой четверти положителен. Следовательно, $ \ctg\frac{7\pi}{3} > 0 $.Ответ: знак плюс (+).