Номер 129, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 129, страница 310.

Условие.

129. Укажите точки на единичной окружности, имеющие ординату, равную:

а) $ \frac{1}{2} $;

б) $ -\frac{1}{2} $;

в) $ 0 $;

г) $ -1 $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $\frac{1}{2}$

Уравнение единичной окружности в декартовых координатах имеет вид $x^2 + y^2 = 1$. Ордината точки — это ее координата $y$. Требуется найти точки, для которых $y = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение окружности, чтобы найти соответствующую абсциссу $x$: $x^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$. Выполним вычисления: $x^2 + \frac{1}{4} = 1$, откуда $x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $x$: $x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, на окружности есть две точки с заданной ординатой.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

б) $-\frac{1}{2}$

Аналогично предыдущему пункту, ищем точки на единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$, у которых ордината $y = -\frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение: $x^2 + (-\frac{1}{2})^2 = 1$. Это приводит к тому же уравнению для $x$, что и в пункте а): $x^2 + \frac{1}{4} = 1$, откуда $x^2 = \frac{3}{4}$ и $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, искомые точки имеют следующие координаты.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

в) 0

Ищем точки на единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$, у которых ордината $y = 0$. Подставив это значение в уравнение, получим: $x^2 + 0^2 = 1$, то есть $x^2 = 1$. Отсюда находим два значения для абсциссы $x$: $x = \pm 1$. Таким образом, мы получили две точки на оси абсцисс.
Ответ: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

г) -1

Ищем точки на единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$, у которых ордината $y = -1$. Подставим это значение в уравнение: $x^2 + (-1)^2 = 1$, то есть $x^2 + 1 = 1$. Отсюда следует, что $x^2 = 0$, и единственное возможное значение для абсциссы — $x = 0$. В этом случае мы получили только одну точку.
Ответ: $(0, -1)$.