Номер 124, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 124, страница 310.

Условие.

124. Вычислите:

а) $\sin 135^\circ$, $\cos 135^\circ$, $\operatorname{tg} 135^\circ$, $\operatorname{ctg} 135^\circ$;

б) $\sin(-120^\circ)$, $\cos(-120^\circ)$, $\operatorname{tg}(-120^\circ)$, $\operatorname{ctg}(-120^\circ)$;

в) $\sin(-150^\circ)$, $\cos(-150^\circ)$, $\operatorname{tg}(-150^\circ)$, $\operatorname{ctg}(-150^\circ)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления значений тригонометрических функций угла $135^\circ$ воспользуемся формулами приведения. Угол $135^\circ$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

$sin(135^\circ) = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$cos(135^\circ) = cos(180^\circ - 45^\circ) = -cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$tg(135^\circ) = \frac{sin(135^\circ)}{cos(135^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$.

$ctg(135^\circ) = \frac{cos(135^\circ)}{sin(135^\circ)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$.

Ответ: $sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $tg(135^\circ) = -1$, $ctg(135^\circ) = -1$.

б) Для вычисления значений тригонометрических функций для отрицательного угла $-120^\circ$ воспользуемся свойствами четности и нечетности функций, а затем формулами приведения. Угол $-120^\circ$ находится в третьей координатной четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

$sin(-120^\circ) = -sin(120^\circ)$. Так как $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$, то $-sin(120^\circ) = -sin(180^\circ - 60^\circ) = -sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$cos(-120^\circ) = cos(120^\circ)$. Так как $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$, то $cos(120^\circ) = cos(180^\circ - 60^\circ) = -cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$tg(-120^\circ) = \frac{sin(-120^\circ)}{cos(-120^\circ)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

$ctg(-120^\circ) = \frac{cos(-120^\circ)}{sin(-120^\circ)} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(-120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $tg(-120^\circ) = \sqrt{3}$, $ctg(-120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Аналогично предыдущему пункту, используем свойства четности/нечетности и формулы приведения для угла $-150^\circ$. Этот угол также находится в третьей координатной четверти.

$sin(-150^\circ) = -sin(150^\circ)$. Так как $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$, то $-sin(150^\circ) = -sin(180^\circ - 30^\circ) = -sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$cos(-150^\circ) = cos(150^\circ)$. Так как $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$, то $cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$tg(-150^\circ) = \frac{sin(-150^\circ)}{cos(-150^\circ)} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$ctg(-150^\circ) = \frac{cos(-150^\circ)}{sin(-150^\circ)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $sin(-150^\circ) = -\frac{1}{2}$, $cos(-150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg(-150^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg(-150^\circ) = \sqrt{3}$.