Номер 117, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 117, страница 309.

Условие.

117. Найдите значение $\sin \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$, если угол $\alpha$ равен:

а) 180°;

б) 90°;

в) 270°;

г) 360°.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для угла $α = 180°$ найдем значения $sin α$ и $tg α$.

Для определения тригонометрических функций для граничных углов удобно использовать единичную окружность. Это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Любой точке на этой окружности с координатами $(x, y)$, соответствующей углу $α$, сопоставляются значения $cos α = x$ и $sin α = y$.

Углу $α = 180°$ на единичной окружности соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси абсцисс. Ее координаты равны $(-1, 0)$.

Отсюда, значение синуса равно ординате точки: $sin(180°) = 0$.

Тангенс угла определяется по формуле $tg α = \frac{sin α}{cos α}$. Косинус угла $180°$ равен абсциссе точки, то есть $cos(180°) = -1$.

Тогда $tg(180°) = \frac{sin(180°)}{cos(180°)} = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: $sin(180°) = 0$, $tg(180°) = 0$.

б)

Для угла $α = 90°$ найдем значения $sin α$ и $tg α$.

На единичной окружности углу $α = 90°$ соответствует точка, лежащая на положительной части оси ординат. Ее координаты равны $(0, 1)$.

Значение синуса равно ординате точки: $sin(90°) = 1$.

Значение косинуса равно абсциссе точки: $cos(90°) = 0$.

Тангенс угла вычисляется как $tg α = \frac{sin α}{cos α}$.

Подставим значения: $tg(90°) = \frac{sin(90°)}{cos(90°)} = \frac{1}{0}$.

На ноль делить нельзя, поэтому значение тангенса для угла $90°$ не определено.

Ответ: $sin(90°) = 1$, $tg(90°)$ не существует.

в)

Для угла $α = 270°$ найдем значения $sin α$ и $tg α$.

На единичной окружности углу $α = 270°$ соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси ординат. Ее координаты равны $(0, -1)$.

Значение синуса равно ординате точки: $sin(270°) = -1$.

Значение косинуса равно абсциссе точки: $cos(270°) = 0$.

Тангенс угла вычисляется как $tg α = \frac{sin α}{cos α}$.

Подставим значения: $tg(270°) = \frac{sin(270°)}{cos(270°)} = \frac{-1}{0}$.

Деление на ноль невозможно, поэтому значение тангенса для угла $270°$ не определено.

Ответ: $sin(270°) = -1$, $tg(270°)$ не существует.

г)

Для угла $α = 360°$ найдем значения $sin α$ и $tg α$.

Угол $α = 360°$ соответствует полному обороту, и точка на единичной окружности совпадает с точкой для угла $0°$. Эта точка лежит на положительной части оси абсцисс и имеет координаты $(1, 0)$.

Значение синуса равно ординате точки: $sin(360°) = 0$.

Значение косинуса равно абсциссе точки: $cos(360°) = 1$.

Тангенс угла вычисляется как $tg α = \frac{sin α}{cos α}$.

Тогда $tg(360°) = \frac{sin(360°)}{cos(360°)} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $sin(360°) = 0$, $tg(360°) = 0$.