Номер 114, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 114, страница 308.

Условие.

114. Как расположены на единичной окружности точки, соответствующие углам ($\alpha$ - радианная мера угла поворота):

а) $\alpha$ и $-\alpha$;

б) $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$, где $k \in Z$;

в) $\alpha$ и $\alpha + \pi$;

г) $\alpha + \pi$ и $\alpha - \pi?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) α и -α

Угол $ \alpha $ отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, а угол $ -\alpha $ — по часовой стрелке на ту же величину. Пусть точке, соответствующей углу $ \alpha $, на единичной окружности соответствуют координаты $ (x, y) $, где $ x = \cos\alpha $ и $ y = \sin\alpha $. Тогда точке, соответствующей углу $ -\alpha $, будут соответствовать координаты $ (\cos(-\alpha), \sin(-\alpha)) $. Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, получаем: $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha = x $ и $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha = -y $. Таким образом, координаты второй точки — $ (x, -y) $. Точки с координатами $ (x, y) $ и $ (x, -y) $ симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Точки, соответствующие углам $ \alpha $ и $ -\alpha $, расположены симметрично относительно оси абсцисс.

б) α и α + 2πk, где k∈Z

Угол $ 2\pi $ радиан соответствует полному обороту на единичной окружности ($ 360^\circ $). Соответственно, угол $ 2\pi k $, где $ k $ — целое число, соответствует $ k $ полным оборотам. Добавление или вычитание целого числа полных оборотов не меняет положения точки на окружности. Если точке, соответствующей углу $ \alpha $, соответствуют координаты $ (\cos\alpha, \sin\alpha) $, то точке, соответствующей углу $ \alpha + 2\pi k $, будут соответствовать координаты $ (\cos(\alpha + 2\pi k), \sin(\alpha + 2\pi k)) $. В силу периодичности функций синуса и косинуса с периодом $ 2\pi $, имеем $ \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha $ и $ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha $. Координаты точек совпадают.

Ответ: Точки, соответствующие углам $ \alpha $ и $ \alpha + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $, совпадают.

в) α и α + π

Угол $ \pi $ радиан соответствует повороту на $ 180^\circ $, то есть на половину окружности. Поворот на угол $ \alpha + \pi $ означает, что мы сначала поворачиваем на угол $ \alpha $, а затем еще на $ \pi $. Это приводит к точке, диаметрально противоположной исходной. Если точке угла $ \alpha $ соответствуют координаты $ (x, y) = (\cos\alpha, \sin\alpha) $, то точке угла $ \alpha + \pi $ соответствуют координаты $ (\cos(\alpha + \pi), \sin(\alpha + \pi)) $. Используя формулы приведения, получаем: $ \cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha = -x $ и $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha = -y $. Таким образом, координаты второй точки — $ (-x, -y) $. Точки с координатами $ (x, y) $ и $ (-x, -y) $ симметричны относительно начала координат.

Ответ: Точки, соответствующие углам $ \alpha $ и $ \alpha + \pi $, расположены диаметрально противоположно (симметрично относительно начала координат).

г) α + π и α - π

Рассмотрим разность между двумя данными углами: $ (\alpha + \pi) - (\alpha - \pi) = \alpha + \pi - \alpha + \pi = 2\pi $. Разность углов составляет $ 2\pi $, что соответствует одному полному обороту. Это означает, что точки, соответствующие этим углам, находятся в одном и том же положении на единичной окружности, то есть совпадают. Можно также рассуждать иначе: угол $ \alpha - \pi $ получается из угла $ \alpha + \pi $ вычитанием $ 2\pi $, что, как показано в пункте б), не меняет положения точки на окружности.

Ответ: Точки, соответствующие углам $ \alpha + \pi $ и $ \alpha - \pi $, совпадают.