Номер 111, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 111, страница 308.

Условие.

111. На единичной окружности укажите точки, соответствующие углам:

а) $\frac{\pi}{8}$ и $-\frac{\pi}{8}$;

б) $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$;

в) $2\pi$ и $4\pi$;

г) $\pi$ и $3\pi$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $\frac{\pi}{8}$ и $-\frac{\pi}{8}$

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $1$. Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox (от точки $(1,0)$). Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.

Угол $\frac{\pi}{8}$ является положительным. Так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, точка, соответствующая этому углу, находится в первой координатной четверти. Этот угол вдвое меньше угла $\frac{\pi}{4}$ (45°), поэтому точка лежит на дуге между $0$ и $\frac{\pi}{4}$, деля ее пополам.

Угол $-\frac{\pi}{8}$ является отрицательным. Мы отсчитываем дугу величиной $\frac{\pi}{8}$ от точки $(1,0)$ по часовой стрелке. Так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{8} < 0$, точка, соответствующая этому углу, находится в четвертой координатной четверти.

Точки, соответствующие углам $\alpha$ и $-\alpha$, всегда симметричны относительно оси абсцисс (Ox).

Ответ: Точка, соответствующая углу $\frac{\pi}{8}$, расположена в первой четверти. Точка, соответствующая углу $-\frac{\pi}{8}$, расположена в четвертой четверти. Эти точки симметричны относительно оси Ox.

б) $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$

Угол $\frac{3\pi}{4}$ является положительным. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$, точка, соответствующая этому углу, находится во второй координатной четверти. Угол $\frac{3\pi}{4}$ можно представить как $\pi - \frac{\pi}{4}$. Это означает, что он симметричен углу $\frac{\pi}{4}$ относительно оси ординат (Oy).

Угол $-\frac{3\pi}{4}$ является отрицательным. Отсчитываем дугу величиной $\frac{3\pi}{4}$ от точки $(1,0)$ по часовой стрелке. Так как $-\pi < -\frac{3\pi}{4} < -\frac{\pi}{2}$, точка, соответствующая этому углу, находится в третьей координатной четверти.

Как и в предыдущем пункте, точки для углов $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$ симметричны относительно оси абсцисс (Ox).

Ответ: Точка, соответствующая углу $\frac{3\pi}{4}$, расположена во второй четверти. Точка, соответствующая углу $-\frac{3\pi}{4}$, расположена в третьей четверти. Эти точки симметричны относительно оси Ox.

в) $2\pi$ и $4\pi$

Угол $2\pi$ соответствует одному полному обороту против часовой стрелки. Движение начинается от точки $(1,0)$ и, пройдя всю окружность, возвращается в эту же точку.

Угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам против часовой стрелки, так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Движение также начинается от точки $(1,0)$ и после двух оборотов возвращается в нее же.

На единичной окружности углы $\alpha$ и $\alpha + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число, соответствуют одной и той же точке. В данном случае $4\pi = 2\pi + 2\pi \cdot 1$.

Ответ: Углы $2\pi$ и $4\pi$ соответствуют одной и той же точке на единичной окружности — точке $(1,0)$, которая является начальной точкой отсчета на оси Ox.

г) $\pi$ и $3\pi$

Угол $\pi$ соответствует половине оборота против часовой стрелки. Движение начинается от точки $(1,0)$ и заканчивается в точке $(-1,0)$ на отрицательной части оси Ox.

Угол $3\pi$ можно представить как $\pi + 2\pi$. Это означает один полный оборот ($2\pi$) и еще половину оборота ($\pi$). Движение начинается от точки $(1,0)$, совершает полный оборот и затем еще половину, заканчиваясь в той же точке $(-1,0)$.

Точки совпадают, так как их углы отличаются на $2\pi$, что является полным оборотом.

Ответ: Углы $\pi$ и $3\pi$ соответствуют одной и той же точке на единичной окружности — точке $(-1,0)$ на отрицательной части оси Ox.