Номер 104, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 104, страница 307.

Условие.

104. При повороте около точки $O$ на угол $\beta = \alpha + 360^{\circ} \cdot k$, где $k \in Z$, начальный радиус $OA$ переходит в радиус $OB$. Каким может быть угол $\alpha$, если точка $B$ принадлежит:

а) I четверти;

б) II четверти;

в) III четверти;

г) IV четверти?

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию задачи, при повороте около точки O на угол $ \beta = \alpha + 360^\circ \cdot k $, где $ k \in Z $, начальный радиус OA переходит в радиус OB. Угол поворота $ \beta $ состоит из угла $ \alpha $ и некоторого количества полных оборотов ($360^\circ \cdot k$). Полные обороты не влияют на конечное положение радиуса, поэтому положение радиуса OB определяется исключительно углом $ \alpha $.

Примем за начальное положение радиуса OA положительное направление оси абсцисс (оси Ox). В этом случае угол, который образует радиус OA с этой осью, равен 0°. После поворота на угол $ \alpha $ радиус OB будет образовывать с положительным направлением оси Ox угол, равный $ \alpha $. Таким образом, принадлежность точки B к определённой координатной четверти задаёт диапазон значений для угла $ \alpha $.

а) I четверти

Если точка B принадлежит I четверти, это означает, что угол $ \alpha $, который образует радиус OB, должен находиться в интервале от 0° до 90°. Учитывая периодичность, то есть возможность совершения любого целого числа полных оборотов, это условие записывается в виде двойного неравенства:

$0^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.

Ответ: $0^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.

б) II четверти

Если точка B принадлежит II четверти, угол $ \alpha $ должен быть в интервале от 90° до 180°. В общем виде это условие записывается как:

$90^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 180^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.

Ответ: $90^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 180^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.

в) III четверти

Если точка B принадлежит III четверти, угол $ \alpha $ должен быть в интервале от 180° до 270°. В общем виде это условие записывается как:

$180^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.

Ответ: $180^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.

г) IV четверти

Если точка B принадлежит IV четверти, угол $ \alpha $ должен быть в интервале от 270° до 360°. В общем виде это условие записывается как:

$270^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 360^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.

Ответ: $270^\circ + 360^\circ \cdot n < \alpha < 360^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$.