Номер 101, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 101, страница 307.

Условие.

101. Выберите формулу, выражающую сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

а) $S = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n;$

б) $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $q \neq 1$;

в) $S = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q}$, где $q \neq 1$;

г) $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $|q| < 1$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для выбора правильной формулы необходимо проанализировать каждый из предложенных вариантов.

а) Формула $S = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$ предназначена для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии. В задаче речь идет о геометрической прогрессии. Следовательно, этот вариант является неверным.

в) Формула $S = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ является формулой для вычисления суммы конечного числа (а именно, первых n) членов геометрической прогрессии. Вопрос же касается суммы бесконечно убывающей прогрессии, где число слагаемых неограниченно ($n \to \infty$). Следовательно, этот вариант не подходит.

б) Формула $S = \frac{b_1}{1-q}$ является правильной для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, однако она справедлива только при выполнении определенного условия на знаменатель прогрессии q. Условие $q \ne 1$, указанное в этом варианте, является недостаточным. Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует (то есть, ряд сходится к конечному значению) только если модуль знаменателя меньше единицы: $|q| < 1$. Если это условие не выполнено (например, при $q = 2$ или $q = -1$), сумма не существует или не является конечной. Таким образом, этот вариант неверен из-за неполного/неверного условия.

г) Данный вариант предлагает формулу $S = \frac{b_1}{1-q}$ с условием $|q| < 1$. Это в точности соответствует определению и свойству бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Именно условие $|q| < 1$ определяет, что прогрессия является бесконечно убывающей, и гарантирует, что ее сумма сходится к конечному значению. Эта формула получается как предел суммы первых n членов $S_n$ при $n \to \infty$:$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-\lim_{n \to \infty} q^n)}{1-q}$.Поскольку $|q| < 1$, то $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.Отсюда получаем $S = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$.Этот вариант является правильным.

Ответ: г)