Номер 98, страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 98, страница 306.

Условие.

98. Укажите формулу суммы n первых членов геометрической прогрес-

сии:

а) $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q - 1};$

б) $S_n = \frac{b_1 \cdot q - b_n}{q - 1};$

в) $S_n = \frac{b_n (1 - q^n)}{1 - q};$

г) $S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для определения верной формулы суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии, необходимо вывести стандартную формулу и сравнить с предложенными вариантами.Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел $(b_n)$, где каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число $q$ (знаменатель прогрессии), при $q \neq 0, b_1 \neq 0$.Сумма $S_n$ первых $n$ членов прогрессии равна:$S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$Умножим обе части равенства на $q$:$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$Теперь вычтем из второго равенства первое:$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$$S_n(q-1) = b_1q^n - b_1$При $q \neq 1$, получаем первую основную формулу:$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$Эту формулу можно преобразовать, используя тот факт, что $n$-й член прогрессии $b_n = b_1q^{n-1}$. Отсюда $b_1q^n = (b_1q^{n-1})q = b_nq$. Подставив это в числитель, получим вторую формулу:$S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1}$Также первую основную формулу можно записать в ином виде, умножив числитель и знаменатель на $-1$:$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{b_1(-(1 - q^n))}{-(1 - q)} = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Эта третья форма удобна при $|q|<1$.Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q - 1}$

Эта формула является одной из стандартных формул для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Как было показано в выводе выше, она получается из основной формулы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ путем замены выражения $b_1q^n$ на $b_nq$. Это преобразование корректно, так как $b_n = b_1q^{n-1}$, и следовательно, $b_n \cdot q = (b_1q^{n-1}) \cdot q = b_1q^n$. Подставив это в числитель $b_1(q^n-1) = b_1q^n - b_1$, мы получаем $b_nq - b_1$. Таким образом, формула верна.

Ответ: данная формула верна.

б) $S_n = \frac{b_1 \cdot q - b_n}{q - 1}$

Чтобы проверить эту формулу, подставим в нее выражение для $n$-го члена $b_n = b_1q^{n-1}$:$S_n = \frac{b_1 q - b_1q^{n-1}}{q - 1} = \frac{b_1(q - q^{n-1})}{q - 1}$.Это выражение не эквивалентно стандартной формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Для проверки возьмем простую прогрессию: $b_1=1, q=2, n=3$. Члены прогрессии: $1, 2, 4$. Сумма $S_3 = 1+2+4=7$. По проверяемой формуле ($b_3 = 4$):$S_3 = \frac{1 \cdot 2 - 4}{2 - 1} = \frac{2-4}{1} = -2$.Поскольку $7 \neq -2$, формула неверна.

Ответ: данная формула неверна.

в) $S_n = \frac{b_n (1 - q^n)}{1 - q}$

Снова проверим формулу, подставив в нее $b_n = b_1q^{n-1}$:$S_n = \frac{(b_1q^{n-1})(1 - q^n)}{1 - q}$.Сравним это со стандартной формулой $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Очевидно, что проверяемая формула отличается от верной на множитель $q^{n-1}$ (если $q^{n-1} \neq 1$). Возьмем тот же пример: $b_1=1, q=2, n=3$. Сумма $S_3=7$. По проверяемой формуле ($b_3 = 4$):$S_3 = \frac{4(1-2^3)}{1-2} = \frac{4(1-8)}{-1} = \frac{4(-7)}{-1} = 28$.Поскольку $7 \neq 28$, формула неверна.

Ответ: данная формула неверна.

г) $S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q}$

Эта формула является одной из самых распространенных форм записи для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Как показано в общем выводе, она напрямую следует из равенства $S_n(1-q) = b_1(1-q^n)$. Она алгебраически эквивалентна формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ и является правильной.

Ответ: данная формула верна.