Номер 93, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 93, страница 305.

Условие.

93. Запишите формулу $n$-го члена каждой геометрической прогрессии, приведенной в № 91.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы записать формулу n-го члена геометрической прогрессии, используется общая формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Поскольку условие задачи отсылает к № 91, мы будем использовать стандартные данные для таких задач, где для каждой прогрессии заданы её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

а) Предположим, для первой прогрессии даны $b_1 = 6$ и $q = 2$.

Подставим эти значения в общую формулу:

$b_n = 6 \cdot 2^{n-1}$

Упростим полученное выражение:

$b_n = (3 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^1 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{1 + n - 1} = 3 \cdot 2^n$.

Ответ: $b_n = 3 \cdot 2^n$.

б) Предположим, для второй прогрессии даны $b_1 = -16$ и $q = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$b_n = -16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$b_n = -2^4 \cdot (2^{-1})^{n-1} = -2^4 \cdot 2^{-(n-1)} = -2^4 \cdot 2^{-n+1} = -2^{4-n+1} = -2^{5-n}$.

Ответ: $b_n = -2^{5-n}$.

в) Предположим, для третьей прогрессии даны $b_1 = 0.4$ и $q = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$b_n = 0.4 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}$

Это выражение является итоговой формулой, но его можно записать и в другом виде:

$b_n = 0.4 \cdot (2^{\frac{1}{2}})^{n-1} = 0.4 \cdot 2^{\frac{n-1}{2}}$.

Ответ: $b_n = 0.4 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}$.

г) Предположим, для четвертой прогрессии даны $b_1 = -\frac{1}{9}$ и $q = -3$.

Подставим значения в формулу:

$b_n = -\frac{1}{9} \cdot (-3)^{n-1}$

Упростим полученное выражение:

$b_n = -3^{-2} \cdot (-3)^{n-1} = (-1)^1 \cdot 3^{-2} \cdot (-1)^{n-1} \cdot 3^{n-1} = (-1)^{1+n-1} \cdot 3^{-2+n-1} = (-1)^n \cdot 3^{n-3}$.

Ответ: $b_n = (-1)^n \cdot 3^{n-3}$.