Номер 92, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 92, страница 305.

Условие.

92. Укажите формулу n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$):

а) $b_n = b_1 \cdot q^n$;

б) $b_{n+1} = b_n \cdot q$;

в) $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$;

г) $b_{n+1} = \frac{b_n}{q}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы определить верную формулу n-го члена геометрической прогрессии, давайте вспомним её определение и выведем эту формулу.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел ($b_n$), в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число $q$, которое называется знаменателем прогрессии. Предполагается, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.

Исходя из определения, мы можем записать первые несколько членов прогрессии через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:

Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q$

Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3$

Заметив закономерность, мы видим, что показатель степени знаменателя $q$ всегда на единицу меньше, чем порядковый номер члена прогрессии. Следовательно, формула для произвольного n-го члена будет выглядеть так:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

а) $b_n = b_1 \cdot q^n$ — эта формула неверна. При $n=2$ мы бы получили $b_2 = b_1 \cdot q^2$, что противоречит определению геометрической прогрессии.

б) $b_{n+1} = b_n \cdot q$ — это рекуррентная формула геометрической прогрессии. Она верна и выражает определение прогрессии, но не является формулой n-го члена (явной формулой), так как для вычисления $b_n$ требует знания предыдущего члена $b_{n-1}$.

в) $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ — это правильная формула n-го члена геометрической прогрессии. Она позволяет найти любой член последовательности, зная только первый член, знаменатель и порядковый номер.

г) $b_{n+1} = \frac{b_n}{q}$ — эта формула неверна. Она описывает прогрессию, в которой каждый следующий член получается делением предыдущего на $q$, что соответствует геометрической прогрессии со знаменателем $\frac{1}{q}$.

Таким образом, единственно верный ответ на вопрос о формуле n-го члена геометрической прогрессии из предложенных вариантов — это вариант в).

Ответ: в