Номер 95, страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 95, страница 306.

Условие.

95. Является ли число 16 членом геометрической прогрессии:

a) $ \frac{1}{2} $; 2; ...

б) $ \frac{1}{8} $; 1; ...

в) -2; 4; ...

г) $ \frac{1}{2} $; $ \frac{1}{4} $; ...?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Чтобы определить, является ли число 16 членом данной геометрической прогрессии ($b_n$), сначала найдем ее основные параметры: первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Из условия имеем: первый член $b_1 = \frac{1}{2}$ и второй член $b_2 = 2$.
Знаменатель прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1/2} = 4$.
Теперь используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Мы хотим проверить, существует ли такое натуральное число $n$, для которого $b_n = 16$.
Подставим известные значения в формулу:
$16 = \frac{1}{2} \cdot 4^{n-1}$.
Для решения этого уравнения, умножим обе части на 2:
$32 = 4^{n-1}$.
Чтобы найти $n$, приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к 2. Мы знаем, что $32 = 2^5$ и $4 = 2^2$.
$2^5 = (2^2)^{n-1}$
$2^5 = 2^{2(n-1)}$
$2^5 = 2^{2n-2}$.
Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:
$5 = 2n - 2$
$7 = 2n$
$n = \frac{7}{2} = 3.5$.
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом (1, 2, 3, ...), а мы получили дробное значение, число 16 не является членом этой прогрессии.

Ответ: не является.

б)

Рассмотрим прогрессию с первым членом $b_1 = \frac{1}{8}$ и вторым членом $b_2 = 1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{1/8} = 8$.
Проверим, является ли 16 членом этой прогрессии. Подставим значения в формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$16 = \frac{1}{8} \cdot 8^{n-1}$.
Умножим обе части на 8:
$16 \cdot 8 = 8^{n-1}$
$128 = 8^{n-1}$.
Приведем обе части к основанию 2, так как $128 = 2^7$ и $8 = 2^3$.
$2^7 = (2^3)^{n-1}$
$2^7 = 2^{3(n-1)}$
$2^7 = 2^{3n-3}$.
Приравниваем показатели степеней:
$7 = 3n - 3$
$10 = 3n$
$n = \frac{10}{3}$.
Так как $n$ не является натуральным числом, 16 не является членом этой прогрессии.

Ответ: не является.

в)

Для прогрессии с первым членом $b_1 = -2$ и вторым членом $b_2 = 4$, найдем знаменатель $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{-2} = -2$.
Это знакочередующаяся прогрессия. Проверим, может ли 16 быть ее членом, используя формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$16 = -2 \cdot (-2)^{n-1}$.
Разделим обе части на -2:
$\frac{16}{-2} = (-2)^{n-1}$
$-8 = (-2)^{n-1}$.
Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести -2, чтобы получить -8. Мы знаем, что $(-2)^3 = -8$.
Следовательно, показатель степени $n-1$ должен быть равен 3:
$n - 1 = 3$
$n = 3 + 1 = 4$.
Поскольку мы получили натуральное число $n=4$, это означает, что 16 является четвертым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: является.

г)

Рассмотрим прогрессию с первым членом $b_1 = \frac{1}{2}$ и вторым членом $b_2 = \frac{1}{4}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$.
Так как первый член $b_1 = 0.5$ и знаменатель $q=0.5$ (положителен и меньше 1), все члены этой прогрессии будут положительными и убывающими. То есть, каждый следующий член будет меньше предыдущего, и все они будут меньше 1. Число 16 не может быть членом такой прогрессии.
Проверим это алгебраически с помощью формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$16 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.
$16 = (\frac{1}{2})^{1 + n - 1}$
$16 = (\frac{1}{2})^n$.
Представим обе части в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$2^4 = (2^{-1})^n$
$2^4 = 2^{-n}$.
Приравниваем показатели:
$4 = -n$
$n = -4$.
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили отрицательное значение, число 16 не является членом этой прогрессии.

Ответ: не является.