Номер 100, страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 100, страница 306.

Условие.

100. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = -1, q = 2;$

б) $b_1 = 2, q = \frac{1}{2};$

в) $b_1 = \frac{1}{11}, q = 3;$

г) $b_1 = 81, q = 1.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, если $q \neq 1$.

Если $q = 1$, то все члены прогрессии равны $b_1$, и сумма первых $n$ членов равна $S_n = n \cdot b_1$.

В данной задаче требуется найти сумму первых пяти членов, то есть $n=5$.

а) Дано: $b_1 = -1$, $q = 2$.

Так как $q \neq 1$, применяем формулу для суммы геометрической прогрессии:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-1(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{-1(32 - 1)}{1} = -1 \cdot 31 = -31$.

Ответ: $-31$.

б) Дано: $b_1 = 2$, $q = \frac{1}{2}$.

Так как $q \neq 1$, применяем формулу. Для удобства вычислений, когда $|q|<1$, можно использовать вид формулы $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

$S_5 = \frac{2(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{2(\frac{31}{32})}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = 4 \cdot \frac{31}{32} = \frac{31}{8}$.

Ответ: $\frac{31}{8}$ или $3 \frac{7}{8}$.

в) Дано: $b_1 = \frac{1}{11}$, $q = 3$.

Так как $q \neq 1$, применяем формулу для суммы:

$S_5 = \frac{\frac{1}{11}(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{11}(243 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{11} \cdot 242}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

Ответ: $11$.

г) Дано: $b_1 = 81$, $q = 1$.

Так как знаменатель прогрессии $q = 1$, все члены этой прогрессии равны первому члену: $b_1 = b_2 = b_3 = b_4 = b_5 = 81$.

Сумма пяти первых членов находится по формуле $S_n = n \cdot b_1$:

$S_5 = 5 \cdot b_1 = 5 \cdot 81 = 405$.

Ответ: $405$.