Номер 99, страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 99, страница 306.

Условие.

99. Запишите сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии:

а) 2; 6; 18; ...

б) 2; 4; 8; ...

в) 3; 12; 48; ...

г) 4; 20; 100; ...

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($q \neq 1$).

а) 2; 6; 18; ...

Для данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 2$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{6}{2} = 3$.

Подставим значения $b_1 = 2$ и $q = 3$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{2(3^n - 1)}{2} = 3^n - 1$.

Ответ: $S_n = 3^n - 1$.

б) 2; 4; 8; ...

Для данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 2$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{4}{2} = 2$.

Подставим значения $b_1 = 2$ и $q = 2$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{1} = 2(2^n - 1)$.

Ответ: $S_n = 2(2^n - 1)$.

в) 3; 12; 48; ...

Для данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{12}{3} = 4$.

Подставим значения $b_1 = 3$ и $q = 4$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{3(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{3(4^n - 1)}{3} = 4^n - 1$.

Ответ: $S_n = 4^n - 1$.

г) 4; 20; 100; ...

Для данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 4$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{20}{4} = 5$.

Подставим значения $b_1 = 4$ и $q = 5$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{4(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{4(5^n - 1)}{4} = 5^n - 1$.

Ответ: $S_n = 5^n - 1$.