Номер 103, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 103, страница 307.

Условие.

103. При повороте около точки O на угол $\beta$ начальный радиус $OA$ переходит в радиус $OB$. Каким может быть угол поворота $\beta$, если $\angle AOB$ равен:

а) $45^\circ$;

б) $120^\circ$;

в) $180^\circ$;

г) $0^\circ$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Угол поворота $\beta$ — это ориентированный угол, на который нужно повернуть начальный радиус $OA$ вокруг точки $O$, чтобы он совпал с конечным радиусом $OB$. Поворот может осуществляться в двух направлениях: против часовой стрелки (положительное направление) и по часовой стрелке (отрицательное направление). Кроме того, добавление или вычитание полного оборота ($360^\circ$) не меняет конечного положения радиуса. Если угол между радиусами $\angle AOB = 45^\circ$, то, чтобы перевести $OA$ в $OB$, можно совершить поворот на $45^\circ$ против часовой стрелки или на $45^\circ$ по часовой стрелке (что соответствует углу $-45^\circ$). Таким образом, все возможные значения угла поворота $\beta$ можно описать общей формулой, учитывающей все полные обороты: $\beta = \pm 45^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$ ).
Ответ: $\beta = \pm 45^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, если $\angle AOB = 120^\circ$, то существуют два основных угла поворота, переводящих $OA$ в $OB$: $120^\circ$ (против часовой стрелки) и $-120^\circ$ (по часовой стрелке). Учитывая периодичность, любой угол поворота $\beta$ можно представить в виде: $\beta = \pm 120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$ ).
Ответ: $\beta = \pm 120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Если $\angle AOB = 180^\circ$, то радиусы $OA$ и $OB$ являются противоположно направленными лучами, лежащими на одной прямой. В этом случае поворот на $180^\circ$ против часовой стрелки и поворот на $180^\circ$ по часовой стрелке ($-180^\circ$) приводят к одному и тому же положению. Заметим, что $-180^\circ + 360^\circ = 180^\circ$. Это означает, что множества углов $180^\circ + 360^\circ \cdot n$ и $-180^\circ + 360^\circ \cdot n$ совпадают. Следовательно, все возможные значения угла поворота $\beta$ можно описать одной формулой: $\beta = 180^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$ ).
Ответ: $\beta = 180^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) Если $\angle AOB = 0^\circ$, то начальный и конечный радиусы совпадают ($OA$ совпадает с $OB$). Это означает, что либо поворота не было вовсе (угол равен $0^\circ$), либо был совершен один или несколько полных оборотов в любом направлении. Полный оборот соответствует углу $360^\circ$. Таким образом, угол поворота $\beta$ должен быть кратен $360^\circ$. Общая формула для угла поворота: $\beta = 360^\circ \cdot n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$ ).
Ответ: $\beta = 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.