Номер 108, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 108, страница 308.

Условие.

108. Укажите положение точки $B$ – образа точки $A(1; 0)$ при повороте вокруг начала координат на угол, равный:

а) $\frac{\pi}{6}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $\frac{\pi}{2}$;

г) $-30^{\circ}$;

д) $-\pi$;

е) $180^{\circ}$;

ж) $-\frac{\pi}{4}$;

з) $-360^{\circ}$;

и) $-\frac{3\pi}{2}$;

к) $270^{\circ}$;

л) $2\pi$;

м) $150^{\circ}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения координат точки $B(x; y)$, которая является образом точки $A(x_0; y_0)$ при повороте вокруг начала координат на угол $\alpha$, используются следующие формулы:

$x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$

$y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В данной задаче исходная точка $A$ имеет координаты $(1; 0)$, поэтому $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$. Подставив эти значения в формулы, получим:

$x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, для нахождения координат точки $B$ достаточно вычислить косинус и синус заданного угла поворота $\alpha$. Координаты точки $B$ будут $(\cos \alpha; \sin \alpha)$.

а) $\frac{\pi}{6}$

При повороте на угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ (что равно $30^\circ$):

$x = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $B(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.

б) $45^\circ$

При повороте на угол $\alpha = 45^\circ$ (что равно $\frac{\pi}{4}$ радиан):

$x = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $B(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) $\frac{\pi}{2}$

При повороте на угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (что равно $90^\circ$):

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Ответ: $B(0; 1)$.

г) $-30^\circ$

При повороте на угол $\alpha = -30^\circ$ (поворот по часовой стрелке):

$x = \cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $B(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

д) $-\pi$

При повороте на угол $\alpha = -\pi$ (что равно $-180^\circ$):

$x = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$

$y = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$

Ответ: $B(-1; 0)$.

е) $180^\circ$

При повороте на угол $\alpha = 180^\circ$ (что равно $\pi$ радиан):

$x = \cos(180^\circ) = -1$

$y = \sin(180^\circ) = 0$

Ответ: $B(-1; 0)$.

ж) $-\frac{\pi}{4}$

При повороте на угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (что равно $-45^\circ$):

$x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $B(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

з) $-360^\circ$

При повороте на угол $\alpha = -360^\circ$ (полный оборот по часовой стрелке) точка возвращается в исходное положение:

$x = \cos(-360^\circ) = \cos(0^\circ) = 1$

$y = \sin(-360^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$

Ответ: $B(1; 0)$.

и) $-\frac{3\pi}{2}$

При повороте на угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$ (что равно $-270^\circ$). Этот поворот эквивалентен повороту на $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$):

$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$

Ответ: $B(0; 1)$.

к) $270^\circ$

При повороте на угол $\alpha = 270^\circ$ (что равно $\frac{3\pi}{2}$ радиан):

$x = \cos(270^\circ) = 0$

$y = \sin(270^\circ) = -1$

Ответ: $B(0; -1)$.

л) $2\pi$

При повороте на угол $\alpha = 2\pi$ (что равно $360^\circ$, полный оборот) точка возвращается в исходное положение:

$x = \cos(2\pi) = 1$

$y = \sin(2\pi) = 0$

Ответ: $B(1; 0)$.

м) $150^\circ$

При повороте на угол $\alpha = 150^\circ$:

$x = \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $B(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.