Номер 109, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 109, страница 308.

Условие.

109. На единичной окружности длина дуги в 1 радиан равна 1. Совершая поворот начального луча $OA$ вокруг начала координат, точка $A$ проходит по окружности некоторое расстояние. Оно равно углу поворота, выраженному в радианах. Найдите это расстояние, если угол поворота равен:

а) $420^{\circ}$;

б) $540^{\circ}$;

в) $750^{\circ}$;

г) $810^{\circ}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

В задаче говорится, что на единичной окружности расстояние, которое проходит точка по дуге, равно углу поворота, выраженному в радианах. Это следует из общей формулы длины дуги окружности $l = \alpha \cdot R$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол, выраженный в радианах. Для единичной окружности радиус $R=1$, поэтому длина дуги $l$ численно равна углу $\alpha$ в радианах.

Таким образом, чтобы найти искомое расстояние, необходимо перевести углы поворота из градусов в радианы. Для этого используется формула, основанная на соотношении, что $180^\circ$ равны $\pi$ радиан:

$\text{Угол в радианах} = \text{Угол в градусах} \times \frac{\pi}{180^\circ}$

а) Найдем расстояние для угла поворота $420^\circ$.
$420^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{420\pi}{180} = \frac{42\pi}{18} = \frac{7\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{3}$

б) Найдем расстояние для угла поворота $540^\circ$.
$540^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{540\pi}{180} = \frac{54\pi}{18} = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$

в) Найдем расстояние для угла поворота $750^\circ$.
$750^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{750\pi}{180} = \frac{75\pi}{18} = \frac{25\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{25\pi}{6}$

г) Найдем расстояние для угла поворота $810^\circ$.
$810^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{810\pi}{180} = \frac{81\pi}{18} = \frac{9\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{9\pi}{2}$