Номер 115, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 115, страница 308.

Условие.

115. Запишите множество чисел, которым соответствует на единичной окружности точка $B$, если $\angle AOB$ равен:

а) $30^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $300^\circ$;

г) $0^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)На единичной окружности точка, соответствующая некоторому углу, также соответствует всем углам, отличающимся от данного на целое число полных оборотов. Полный оборот равен $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Чтобы записать множество чисел, сначала переведем градусы в радианы по формуле: $радианы = градусы \cdot \frac{\pi}{180}$.
Для угла $30^\circ$:
$30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан.
Теперь добавим к полученному значению целое число полных оборотов, то есть $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Множество чисел, которым соответствует точка B, имеет вид: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)Аналогично предыдущему пункту, переведем угол $90^\circ$ в радианную меру.
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Множество всех чисел, соответствующих этой точке на единичной окружности, получается добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k$).
Множество чисел: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)Переведем угол $300^\circ$ в радианы.
$300^\circ = 300 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{18} = \frac{5\pi}{3}$ радиан.
Этот угол находится в четвертой четверти. Чтобы найти все числа, соответствующие этой точке, прибавим $2\pi k$.
Множество чисел: $\frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.
(Заметим, что угол $300^\circ$ также эквивалентен углу $300^\circ - 360^\circ = -60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ радиан. Поэтому множество можно записать и как $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, что является эквивалентной формой записи).
Ответ: $\frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)Угол $0^\circ$ соответствует начальной точке отсчета на единичной окружности (точка с координатами $(1, 0)$).
В радианах этот угол равен $0$.
Множество чисел, соответствующих этой точке, включает все углы, кратные полному обороту.
Множество чисел: $0 + 2\pi k = 2\pi k$.
Ответ: $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.