Номер 118, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 118, страница 309.

Условие.

118. На единичной окружности отметьте точку $B_{\alpha}$ и сравните значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, если угол $\alpha$ равен:

а) 15°;

б) 75°;

в) 170°;

г) 180°;

д) 250°;

е) 300°.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) 15°
Точка $B_{15^{\circ}}$, соответствующая углу $\alpha = 15^{\circ}$, расположена на единичной окружности в первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса и косинуса положительны. Для сравнения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ воспользуемся знанием о том, что на интервале $(0^{\circ}; 90^{\circ})$ функция $\sin \alpha$ возрастает, а $\cos \alpha$ убывает, и $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$. Так как $15^{\circ} < 45^{\circ}$, то $\sin 15^{\circ} < \sin 45^{\circ}$ и $\cos 15^{\circ} > \cos 45^{\circ}$. Следовательно, $\cos 15^{\circ} > \sin 15^{\circ}$. Другой способ — рассмотреть положение точки на окружности относительно прямой $y=x$. Для углов меньше $45^{\circ}$ точка лежит ниже этой прямой, что означает, что её абсцисса (косинус) больше ординаты (синус).
Ответ: $\cos 15^{\circ} > \sin 15^{\circ}$.

б) 75°
Точка $B_{75^{\circ}}$, соответствующая углу $\alpha = 75^{\circ}$, расположена в первой координатной четверти, где синус и косинус положительны. Так как $45^{\circ} < 75^{\circ} < 90^{\circ}$, то, используя аналогичные рассуждения, $\sin 75^{\circ} > \sin 45^{\circ}$ и $\cos 75^{\circ} < \cos 45^{\circ}$. Следовательно, $\sin 75^{\circ} > \cos 75^{\circ}$. На единичной окружности точка $B_{75^{\circ}}$ лежит выше прямой $y=x$, поэтому её ордината (синус) больше её абсциссы (косинуса).
Ответ: $\sin 75^{\circ} > \cos 75^{\circ}$.

в) 170°
Точка $B_{170^{\circ}}$, соответствующая углу $\alpha = 170^{\circ}$, расположена во второй координатной четверти ($90^{\circ} < 170^{\circ} < 180^{\circ}$). Для любого угла в этой четверти значение синуса положительно ($\sin 170^{\circ} > 0$), а значение косинуса отрицательно ($\cos 170^{\circ} < 0$). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.
Ответ: $\sin 170^{\circ} > \cos 170^{\circ}$.

г) 180°
Точка $B_{180^{\circ}}$ находится на границе второй и третьей четвертей, на отрицательной части оси абсцисс (Ox). Координаты этой точки на единичной окружности равны $(-1, 0)$. По определению, $\cos 180^{\circ}$ равен абсциссе точки, а $\sin 180^{\circ}$ — её ординате. Таким образом, $\cos 180^{\circ} = -1$ и $\sin 180^{\circ} = 0$. Поскольку $0 > -1$, то $\sin 180^{\circ} > \cos 180^{\circ}$.
Ответ: $\sin 180^{\circ} > \cos 180^{\circ}$.

д) 250°
Точка $B_{250^{\circ}}$, соответствующая углу $\alpha = 250^{\circ}$, расположена в третьей координатной четверти ($180^{\circ} < 250^{\circ} < 270^{\circ}$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Для сравнения их значений рассмотрим прямую $y=x$, которая в третьей четверти соответствует углу $225^{\circ}$. Так как $250^{\circ} > 225^{\circ}$, точка $B_{250^{\circ}}$ на единичной окружности находится ниже прямой $y=x$. Это значит, что её ордината ($\sin 250^{\circ}$) меньше её абсциссы ($\cos 250^{\circ}$).
Ответ: $\sin 250^{\circ} < \cos 250^{\circ}$.

е) 300°
Точка $B_{300^{\circ}}$, соответствующая углу $\alpha = 300^{\circ}$, расположена в четвертой координатной четверти ($270^{\circ} < 300^{\circ} < 360^{\circ}$). Для любого угла в этой четверти значение косинуса положительно ($\cos 300^{\circ} > 0$), а значение синуса отрицательно ($\sin 300^{\circ} < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного.
Ответ: $\cos 300^{\circ} > \sin 300^{\circ}$.