Номер 123, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 123, страница 309.

Условие.

123. Найдите значение выражения:

а) $ \sin(-30^{\circ}) $, $ \cos(-30^{\circ}) $, $ \operatorname{tg}(-30^{\circ}) $, $ \operatorname{ctg}(-30^{\circ}) $;

б) $ \sin(-45^{\circ}) $, $ \cos(-45^{\circ}) $, $ \operatorname{tg}(-45^{\circ}) $, $ \operatorname{ctg}(-45^{\circ}) $;

в) $ \sin(-60^{\circ}) $, $ \cos(-60^{\circ}) $, $ \operatorname{tg}(-60^{\circ}) $, $ \operatorname{ctg}(-60^{\circ}) $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения значений данных выражений необходимо использовать свойства четности и нечетности тригонометрических функций, а также их табличные значения.

Основные свойства четности/нечетности:

- Косинус является четной функцией, что означает $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

- Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, что означает $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$ и $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.

а)

Применяя свойства и табличные значения для угла $30^\circ$:

$\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$

$\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}(-30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\operatorname{ctg}(-30^\circ) = -\operatorname{ctg}(30^\circ) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{3}; -\sqrt{3}$.

б)

Применяя свойства и табличные значения для угла $45^\circ$:

$\sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}(-45^\circ) = -\operatorname{tg}(45^\circ) = -1$

$\operatorname{ctg}(-45^\circ) = -\operatorname{ctg}(45^\circ) = -1$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; -1; -1$.

в)

Применяя свойства и табличные значения для угла $60^\circ$:

$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$\operatorname{tg}(-60^\circ) = -\operatorname{tg}(60^\circ) = -\sqrt{3}$

$\operatorname{ctg}(-60^\circ) = -\operatorname{ctg}(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; -\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}$.