Номер 125, страница 310 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 125, страница 310.

Условие.

125. Заполните таблицу:

Функция Область определения Множество значений

$y = \sin x$

$y = \operatorname{tg} x$

Решение.

Решение 2 (rus).

y = sin x
Область определения: Функция синус определена для любого действительного значения аргумента $x$. Это означает, что в функцию можно подставить любое число без ограничений. Таким образом, область определения функции $y = \sin x$ — это множество всех действительных чисел. В виде интервала это записывается как $(-\infty; +\infty)$ или с помощью символа $\mathbb{R}$.
Множество значений: Значения функции синус всегда находятся в пределах от -1 до 1 включительно. Это следует из определения синуса как ординаты точки на единичной окружности, радиус которой равен 1. Максимальное значение ординаты равно 1, а минимальное — -1. Следовательно, множество значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; Множество значений: $[-1; 1]$.

y = tg x
Область определения: Функция тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Эта функция не определена в тех точках, где знаменатель дроби, $\cos x$, равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Следовательно, область определения функции $y = \tg x$ — это все действительные числа, кроме чисел вида $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Множество значений: Когда аргумент $x$ приближается к значениям, где косинус равен нулю (например, к $\frac{\pi}{2}$), значение тангенса неограниченно возрастает или убывает, стремясь к $+\infty$ или $-\infty$. Функция тангенс не имеет ограничений сверху или снизу и может принимать любое действительное значение. Таким образом, множество значений функции $y = \tg x$ — это множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: Область определения: все $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; Множество значений: $(-\infty; +\infty)$.