Номер 122, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 122, страница 309.

Условие.

122. Найдите значение угла $\alpha$, если $\alpha$ – угол I четверти и:

a) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\operatorname{tg} \alpha = 1$;

г) $\operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) По условию задачи, нам нужно найти значение угла $\alpha$, который находится в I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), и для которого выполняется равенство $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это стандартное тригонометрическое уравнение. Значение синуса, равное $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствует углу $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).
Общее решение уравнения $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет вид $\alpha = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.
Нам нужно выбрать решение, которое попадает в интервал $(0, \frac{\pi}{2})$.При $n=0$, получаем $\alpha = (-1)^0 \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$.Этот угол удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$. Другие целые значения $n$ дают углы, не принадлежащие первой четверти.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

б) Нам дано уравнение $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, где угол $\alpha$ принадлежит I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).
Это также табличное значение для косинуса. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, — это $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$).
Общее решение уравнения $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ записывается как $\alpha = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.
Выбираем решение из интервала $(0, \frac{\pi}{2})$.При $n=0$ и знаке "+", получаем $\alpha = \frac{\pi}{6}$.Этот угол удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$. Остальные решения (при других $n$ или знаке "–") не попадают в первую четверть.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

в) Необходимо найти угол $\alpha$ из первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), для которого $\tg \alpha = 1$.
Значение тангенса, равное $1$, соответствует углу $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).
Общее решение уравнения $\tg \alpha = 1$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.
Ищем решение, принадлежащее первой четверти.При $n=0$, получаем $\alpha = \frac{\pi}{4}$.Это значение удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

г) По условию, $\ctg \alpha = \sqrt{3}$, и угол $\alpha$ находится в I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).
Значение котангенса, равное $\sqrt{3}$, соответствует углу $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$).
Общее решение уравнения $\ctg \alpha = \sqrt{3}$ записывается как $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ — целое число.
Выбираем решение из первой четверти.При $n=0$, получаем $\alpha = \frac{\pi}{6}$.Этот угол удовлетворяет условию $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6}$.