Номер 90, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 90, страница 305.

Условие.

90. Укажите последовательность, которая является геометрической прогрессией:
а) 2; 4; 9; 16; ... ;
б) 2; 4; 8; 16; ... ;
в) 2; -4; 8; -16; ... ;
г) 4; 4; 4; 4; ....

Решение.

Решение 2 (rus).

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность $b_1, b_2, ..., b_n, ...$, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности число $q$ (знаменатель прогрессии). То есть, для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Эквивалентное определение: последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена к предыдущему является постоянным числом: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.

Проверим каждый вариант на соответствие этому определению.

а) Последовательность 2; 4; 9; 16; …

Вычислим отношение второго члена к первому: $\frac{4}{2} = 2$.

Вычислим отношение третьего члена ко второму: $\frac{9}{4} = 2.25$.

Так как отношения не равны ($2 \neq 2.25$), последовательность не является геометрической прогрессией.

б) Последовательность 2; 4; 8; 16; …

Вычислим отношения между соседними членами:

$\frac{4}{2} = 2$

$\frac{8}{4} = 2$

$\frac{16}{8} = 2$

Отношение постоянно и равно $q=2$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

в) Последовательность 2; –4; 8; –16; …

Вычислим отношения между соседними членами:

$\frac{-4}{2} = -2$

$\frac{8}{-4} = -2$

$\frac{-16}{8} = -2$

Отношение постоянно и равно $q=-2$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

г) Последовательность 4; 4; 4; 4; …

Вычислим отношения между соседними членами:

$\frac{4}{4} = 1$

$\frac{4}{4} = 1$

Отношение постоянно и равно $q=1$. Следовательно, эта последовательность также является геометрической прогрессией.

Таким образом, три последовательности (б, в, г) являются геометрическими прогрессиями. В стандартных тестовых заданиях обычно предполагается единственный правильный ответ. Вариант б) представляет собой классический пример возрастающей геометрической прогрессии. Варианты в) и г) являются её частными случаями (знакочередующаяся и стационарная прогрессии). Исходя из этого, наиболее вероятным ожидаемым ответом является б).

Ответ: б)