Номер 84, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 84, страница 305.

Условие.

84. Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии:

а) $2; 4; \dots;$

б) $5; 5; \dots;$

в) $1; -2; \dots;$

г) $-4; 1; \dots .$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$,где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

Во всех случаях нам нужно найти сумму шести первых членов, то есть $n=6$.

а) В арифметической прогрессии $2; 4; \dots$ первый член $a_1=2$, а второй член $a_2=4$.

Разность прогрессии $d$ равна: $d = a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2$.

Подставим значения в формулу для суммы первых шести членов:

$S_6 = \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot (6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{4 + 2 \cdot 5}{2} \cdot 6 = \frac{4 + 10}{2} \cdot 6 = \frac{14}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42$.

Ответ: 42.

б) В арифметической прогрессии $5; 5; \dots$ первый член $a_1=5$, а второй член $a_2=5$.

Разность прогрессии $d$ равна: $d = a_2 - a_1 = 5 - 5 = 0$.

Подставим значения в формулу для суммы первых шести членов:

$S_6 = \frac{2 \cdot 5 + 0 \cdot (6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{10 + 0}{2} \cdot 6 = \frac{10}{2} \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$.

Ответ: 30.

в) В арифметической прогрессии $1; -2; \dots$ первый член $a_1=1$, а второй член $a_2=-2$.

Разность прогрессии $d$ равна: $d = a_2 - a_1 = -2 - 1 = -3$.

Подставим значения в формулу для суммы первых шести членов:

$S_6 = \frac{2 \cdot 1 + (-3) \cdot (6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{2 - 3 \cdot 5}{2} \cdot 6 = \frac{2 - 15}{2} \cdot 6 = \frac{-13}{2} \cdot 6 = -13 \cdot 3 = -39$.

Ответ: -39.

г) В арифметической прогрессии $-4; 1; \dots$ первый член $a_1=-4$, а второй член $a_2=1$.

Разность прогрессии $d$ равна: $d = a_2 - a_1 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$.

Подставим значения в формулу для суммы первых шести членов:

$S_6 = \frac{2 \cdot (-4) + 5 \cdot (6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{-8 + 5 \cdot 5}{2} \cdot 6 = \frac{-8 + 25}{2} \cdot 6 = \frac{17}{2} \cdot 6 = 17 \cdot 3 = 51$.

Ответ: 51.