Номер 82, страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 82, страница 304.

Условие.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

82. Укажите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

а) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2};$

б) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n;$

в) $S_n = \frac{a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n;$

г) $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо знать стандартные формулы для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}$

Эта формула представляет собой среднее арифметическое первого ($a_1$) и последнего ($a_n$) членов прогрессии. Для нахождения суммы всех $n$ членов необходимо умножить это среднее значение на количество членов $n$. В данном варианте умножение на $n$ отсутствует, следовательно, формула неполная и неверная. Она вычисляет средний член, а не сумму.

Ответ: неверно.

б) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Это одна из двух основных формул для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии. Она выражает сумму через первый член ($a_1$), $n$-й член ($a_n$) и количество членов ($n$). Формула является произведением среднего арифметического первого и последнего членов на их количество. Эта формула верна.

Ответ: верно.

в) $S_n = \frac{a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Рассмотрим выражение в числителе дроби: $a_1 + d(n-1)$. Это формула для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии, то есть $a_n = a_1 + d(n-1)$. Если подставить это в исходное выражение, получим $S_n = \frac{a_n}{2} \cdot n$. Эта формула неверна, так как в числителе не хватает первого члена $a_1$. Правильная формула, как мы видели в пункте б), это $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Ответ: неверно.

г) $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Это вторая основная формула для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии. Ее можно получить из верной формулы в пункте б), подставив в нее выражение для $n$-го члена $a_n = a_1 + d(n-1)$:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Эта формула выражает сумму через первый член ($a_1$), разность прогрессии ($d$) и количество членов ($n$). Она является верной.

Ответ: верно.