Номер 83, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 83, страница 305.

Условие.

83. Запишите сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии:

а) 2; 6; 10; ... ;

б) 2; -4; -10; ... ;

в) 4; 12; 20; ... ;

г) -4; -20; -36; ... .

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дана арифметическая прогрессия $2; 6; 10; \ldots$.
Чтобы записать формулу суммы первых $n$ членов, необходимо определить первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4$.
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Подставим значения $a_1 = 2$ и $d = 4$ в эту формулу:
$S_n = \frac{2 \cdot 2 + 4(n-1)}{2} \cdot n$
Упростим выражение в числителе:
$S_n = \frac{4 + 4n - 4}{2} \cdot n = \frac{4n}{2} \cdot n$
$S_n = 2n \cdot n = 2n^2$.
Ответ: $S_n = 2n^2$.

б) Дана арифметическая прогрессия $2; -4; -10; \ldots$.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -4 - 2 = -6$.
Подставим значения $a_1 = 2$ и $d = -6$ в формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:
$S_n = \frac{2 \cdot 2 + (-6)(n-1)}{2} \cdot n$
Упростим выражение:
$S_n = \frac{4 - 6n + 6}{2} \cdot n = \frac{10 - 6n}{2} \cdot n$
$S_n = (5 - 3n)n = 5n - 3n^2$.
Ответ: $S_n = 5n - 3n^2$.

в) Дана арифметическая прогрессия $4; 12; 20; \ldots$.
Первый член прогрессии $a_1 = 4$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 12 - 4 = 8$.
Подставим значения $a_1 = 4$ и $d = 8$ в формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:
$S_n = \frac{2 \cdot 4 + 8(n-1)}{2} \cdot n$
Упростим выражение:
$S_n = \frac{8 + 8n - 8}{2} \cdot n = \frac{8n}{2} \cdot n$
$S_n = 4n \cdot n = 4n^2$.
Ответ: $S_n = 4n^2$.

г) Дана арифметическая прогрессия $-4; -20; -36; \ldots$.
Первый член прогрессии $a_1 = -4$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -20 - (-4) = -16$.
Подставим значения $a_1 = -4$ и $d = -16$ в формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:
$S_n = \frac{2 \cdot (-4) + (-16)(n-1)}{2} \cdot n$
Упростим выражение:
$S_n = \frac{-8 - 16n + 16}{2} \cdot n = \frac{8 - 16n}{2} \cdot n$
$S_n = (4 - 8n)n = 4n - 8n^2$.
Ответ: $S_n = 4n - 8n^2$.